§ 5. Унитарный оператор

В этом параграфе евклидово пространство предполагается комплексным.

Определение 4. Линейный оператор действующий в комплексном евклидовом пространстве, называется унитарным, если

Таким образом, унитарный оператор является аналогом ортогонального оператора. Так же как и ортогональный оператор (в вещественном пространстве), он сохраняет длины векторов и ортогональные векторы пере» водит в ортогональные. В частности, любой ортонормированный базис унитарный оператор переводит в ортонормированный базис. Верно и обратное: линейный оператор, преобразующий хотя бы один ортонормированный базис в ортонормированный, является унитарным. Легко видеть, что если оператор унитарный, то и обратно.

Свойства 1—3 ортогональных операторов (см. стр. 173) переносятся на унитарные операторы без изменений. Фактически сохраняется и свойство 4:

4. Если — унитарный оператор, то для того, чтобы оператор был унитарным, необходимо и достаточно, чтобы а по модулю было равно 1, ибо

Пусть — матрица унитарного оператора в ортонорм и ров а нном базисе Тогда образы базисных векторов сами образуют ортонормированный базис: при т. е.

Далее, если — унитарный оператор, то оператор — тоже унитарный, и значит, столбцы матрицы

А, т. е. строки матрицы А, тоже образуют ортонормированную систему:

при

Матрица А, для которой матрица, элементы которой удовлетворяют условиям (2) (или равносильным им условиям (3)), называется унитарной матрицей. Таким образом, матрица унитарного оператора в любом ортонормированном базисе является унитарной. Обратно, если в каком-то ортонормированном базисе матрица оператора унитарна: то оператор является унитарным.

Теорема 6 переносится на унитарные операторы без изменений: ортогональное дополнение подпространства инвариантного относительно унитарного оператора инвариантно относительно М. Теорема 7 принимает такой вид:

Теорема 7. Собственные значения унитарного оператора по модулю равны 1.

Доказательство. Пусть х — собственный вектор и К — соответствующее собственное значение унитарно, оператора тогда

Но а так как — собственный вектор, и значит, то или

Таким образом, спектр унитарного оператора расположен на единичной окружности комплексной плоскости.

Новой является следующая

Теорема 10. Матрица унитарного оператора -комплексного евклидова пространства в некотором ортонормированном. базисе приводится к диагональному оиду (где все элементы главной диагонали по модулю равны -1).

Доказательство. Пусть — одно из собственных значений (унитарного) оператора По теореме Соответствующий (единичный) собственный вектор обозначим через Тогда

Пусть одномерное подпространство, порожденное вектором ей Его ортогональное дополнение инвариантно относительно

Если, далее, - собственное значение оператора в подпространстве и - соответствующий (единичный) собственный вектор, то Обозначим через (инвариантное) подпространство, порожденное векторами Тогда подпространство тоже инвариантно относительно Продолжая это построение, мы найдем попарно ортогональных (и, следовательно, линейно независимых) единичных векторов — собственных векторов оператора . В базисе, состоящем из этих векторов, матрица оператора имеет диагональный вид

Все элементы, стоящие на главной диагонали этой матрицы, по модулю равны 1.

Отсюда, в частности, видно, что определитель матрицы унитарного оператора в любом базисе (он ведь не зависит от базиса!) по модулю равен 1 (ср. с теоремой 8).