§ 6. Переход к новому базису

Пусть в пространстве имеются два базиса:

Первый условимся называть старым базисом, второй — новым. Каждый из элементов нового базиса, по теореме 1, можно линейно выразить через векторы старого базиса

Можно сказать, что новые базисные векторы получаются из старых с помощью матрицы

(причем коэффициенты их разложений по старым базисным векторам образуют столбцы этой матрицы). Матрица А называется матрицей перехода от базиса к базису

Определитель матрицы А не равен нулю, так как в противном случае ее столбцы, а следовательно, и векторы были бы линейно зависимы.

Обратно, если определитель матрицы А отличен от нуля, то столбцы ее линёйно независимы, и значит, векторы получающиеся из базисных векторов с помощью матрицы А, линейно независимы, т. е. образуют некоторый базис. Значит, матрицей перехода может служить любая квадратная матрица порядка с отличным от нуля определителем.

Посмотрим теперь, как связаны между собой координаты одного и того же вектора в старом и новом базисах. Пусть — в старом базисе и в то же время в новом.

Подставляя в последнее равенство вместо их выражения (2) через получим

Ввиду единственности разложения вектора по базису отсюда следует, что

Таким образом, старые координаты вектора х

получаются из новых его координат с помощью той же матрицы А, только коэффициенты соответствующих раз ложений образуют строки этой матрицы.

Пример. Пусть единичные векторы, направленные по осям прямоугольной декартовой системы координат. Повернем оси координат на угол против часовой стрелки, и пусть — новые базисные векторы. Углы, образуемые вектором с векторами и , равны соответственно (рис. 5).

Рис. 5.

Поэтому координаты этого вектора в базисе равны значит, Аналогично, углы вектора с векторами равны соответственно координаты его в базисе равны и значит,

Таким образом, матрицей перехода здесь будет

а выражения старых координат через новые имеют вид