Можно показать, что при переходе к новой системе координат в
точки, удовлетворяющие системе уравнений (4), будут удовлетворять некоторой новой системе уравнений, ранг матрицы коэффициентов которой тоже равен
Пусть
будет
-мерная плоскость, определяемая системой уравнений (4). Соответствующая система (3) линейных однородных уравнений определяет некоторую
-мерную плоскость
«проходящую через начало координат». Если все векторы отложены от начала координат, то те векторы, концы которых принадлежат
образуют подпространство, а векторы, концы которых принадлежат
, образуют
-мерное линейное многообразие. Это многообразие получается, если ко всем векторам подпространства
прибавить один и тот же лектор а. Можно сказать поэтому, что
-мерная плоскость
получается из
параллельным переносом на вектор а. Это позволяет дать следующее
Определение 13. Две
-мерные плоскости параллельны, если определяющие их системы таковы, что соответствующие однородные системы равносильны (имеют одни и те же решения),
-мерная плоскость
и
-мерная плоскость
параллельны (при
если
параллельна какой-нибудь
-мерной плоскости, содержащейся в
(в этом случае определяющие
системы таковы, что однородная система, соответствующая
является следствием однородной системы, соответствующей
Пусть снова
будет
-мерная плоскость, определяемая системой уравнений (4). Общее решение системы (4) в векторной форме имеет вид
где
общее решение соответствующей однородной системы (3) и а — некоторый фиксированный вектор (одно из решений системы (4)). Если
при
и
то записывая равенство (14) в координатах, получим параметрические
уравнения
-мерной плоскости:
Если ранг матрицы коэффициентов системы (4) равен
соответствующую (одномерную) плоскость выше мы назвали прямой. В этом случае общее решение системы (4) в векторной форме имеет вид
где
— общее решение соответствующей однородной системы и
— некоторый фиксированный вектор (рис 7).
Рис. 7.
Если
то, записывая уравнение (15) в координатах, получим параметрические уравнения прямой:
которые, исключая параметр а, можно переписать в виде
(Это — канонические уравнения прямой. Они имеют смысл и в том случае, если некоторые из знаменателей обращаются в нуль — тогда равны нулю и соответствующие числители). Если в пространстве А даны две точки
то проходящая через них прямая
определяется, очевидно, уравнениями
Обозначив равные отношения (16) через
получим параметрические уравнения прямой
или
Полагая
будем иметь
Если
— вещественные, причем 1 и, значит
то говорят, что соответствующая точка х принадлежит отрезку АВ.
Если ранг матрицы коэффициентов системы (4) равен
то определяемая ею плоскость двумерна, и общее решение, системы в векторной форме имеет вид
где
— общее решение соответствующей однородной системы (3), а
- некоторый фиксированный вектор. Если
то координаты точек
этой плоскости определяются формулами
(параметрические уравнения двумерной плоскости).
Пусть в аффинном пространстве
даны две плоскости:
-мерная плоскость
, определяемая системой уравнений (4), и
-мерная плоскость
, определяемая системой уравнений
Тогда их пересечение (т. е. множество точек, принадлежащих одновременно
и
) будет определяться системой, состоящей из всех уравнений системы (4) и всех уравнений системы (18), и значит тоже будет некоторой плоскостью (которая, в частности, может состоять из одной точки или даже вообще не содержать ни одной точки, если объединенная система окажется