Главная > Линейная алгебра и некоторые ее приложения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 13. k-мерные плоскости в аффинном пространств

Пусть в -мерном аффинном пространстве установлена система координат. Рассмотрим снова (совместную) систему уравнений (4), ранг матрицы коэффициентов которой равен и пусть

Определение 12. Множество всех точек из координаты которых удовлетворяют системе уравнений (4), называется -мерной плоскостью; одномерные плоскости называются также прямыми, а -мерные плоскости — гиперплоскостями.

Понятно, что каждую гиперплоскость (для которой можно задать всего одним линейным уравнением

В обычном трехмерном пространстве гиперплоскости — это обычные плоскости, а на обычной плоскости — это прямые.

Можно показать, что при переходе к новой системе координат в точки, удовлетворяющие системе уравнений (4), будут удовлетворять некоторой новой системе уравнений, ранг матрицы коэффициентов которой тоже равен

Пусть будет -мерная плоскость, определяемая системой уравнений (4). Соответствующая система (3) линейных однородных уравнений определяет некоторую -мерную плоскость «проходящую через начало координат». Если все векторы отложены от начала координат, то те векторы, концы которых принадлежат образуют подпространство, а векторы, концы которых принадлежат , образуют -мерное линейное многообразие. Это многообразие получается, если ко всем векторам подпространства прибавить один и тот же лектор а. Можно сказать поэтому, что -мерная плоскость получается из параллельным переносом на вектор а. Это позволяет дать следующее

Определение 13. Две -мерные плоскости параллельны, если определяющие их системы таковы, что соответствующие однородные системы равносильны (имеют одни и те же решения), -мерная плоскость и -мерная плоскость параллельны (при если параллельна какой-нибудь -мерной плоскости, содержащейся в (в этом случае определяющие системы таковы, что однородная система, соответствующая является следствием однородной системы, соответствующей

Пусть снова будет -мерная плоскость, определяемая системой уравнений (4). Общее решение системы (4) в векторной форме имеет вид

где

общее решение соответствующей однородной системы (3) и а — некоторый фиксированный вектор (одно из решений системы (4)). Если при и то записывая равенство (14) в координатах, получим параметрические

уравнения -мерной плоскости:

Если ранг матрицы коэффициентов системы (4) равен соответствующую (одномерную) плоскость выше мы назвали прямой. В этом случае общее решение системы (4) в векторной форме имеет вид

где — общее решение соответствующей однородной системы и — некоторый фиксированный вектор (рис 7).

Рис. 7.

Если то, записывая уравнение (15) в координатах, получим параметрические уравнения прямой:

которые, исключая параметр а, можно переписать в виде

(Это — канонические уравнения прямой. Они имеют смысл и в том случае, если некоторые из знаменателей обращаются в нуль — тогда равны нулю и соответствующие числители). Если в пространстве А даны две точки то проходящая через них прямая определяется, очевидно, уравнениями

Обозначив равные отношения (16) через получим параметрические уравнения прямой

или

Полагая будем иметь

Если — вещественные, причем 1 и, значит то говорят, что соответствующая точка х принадлежит отрезку АВ.

Если ранг матрицы коэффициентов системы (4) равен то определяемая ею плоскость двумерна, и общее решение, системы в векторной форме имеет вид

где — общее решение соответствующей однородной системы (3), а - некоторый фиксированный вектор. Если то координаты точек этой плоскости определяются формулами

(параметрические уравнения двумерной плоскости).

Пусть в аффинном пространстве даны две плоскости: -мерная плоскость , определяемая системой уравнений (4), и -мерная плоскость , определяемая системой уравнений

Тогда их пересечение (т. е. множество точек, принадлежащих одновременно и ) будет определяться системой, состоящей из всех уравнений системы (4) и всех уравнений системы (18), и значит тоже будет некоторой плоскостью (которая, в частности, может состоять из одной точки или даже вообще не содержать ни одной точки, если объединенная система окажется

несовместной). Легко видеть, что каждая -мерная плоскость в является пересечением некоторых гиперплоскостей.

1
Оглавление
email@scask.ru