§ 13. k-мерные плоскости в аффинном пространств

Пусть в -мерном аффинном пространстве установлена система координат. Рассмотрим снова (совместную) систему уравнений (4), ранг матрицы коэффициентов которой равен и пусть

Определение 12. Множество всех точек из координаты которых удовлетворяют системе уравнений (4), называется -мерной плоскостью; одномерные плоскости называются также прямыми, а -мерные плоскости — гиперплоскостями.

Понятно, что каждую гиперплоскость (для которой можно задать всего одним линейным уравнением

В обычном трехмерном пространстве гиперплоскости — это обычные плоскости, а на обычной плоскости — это прямые.

Можно показать, что при переходе к новой системе координат в точки, удовлетворяющие системе уравнений (4), будут удовлетворять некоторой новой системе уравнений, ранг матрицы коэффициентов которой тоже равен

Пусть будет -мерная плоскость, определяемая системой уравнений (4). Соответствующая система (3) линейных однородных уравнений определяет некоторую -мерную плоскость «проходящую через начало координат». Если все векторы отложены от начала координат, то те векторы, концы которых принадлежат образуют подпространство, а векторы, концы которых принадлежат , образуют -мерное линейное многообразие. Это многообразие получается, если ко всем векторам подпространства прибавить один и тот же лектор а. Можно сказать поэтому, что -мерная плоскость получается из параллельным переносом на вектор а. Это позволяет дать следующее

Определение 13. Две -мерные плоскости параллельны, если определяющие их системы таковы, что соответствующие однородные системы равносильны (имеют одни и те же решения), -мерная плоскость и -мерная плоскость параллельны (при если параллельна какой-нибудь -мерной плоскости, содержащейся в (в этом случае определяющие системы таковы, что однородная система, соответствующая является следствием однородной системы, соответствующей

Пусть снова будет -мерная плоскость, определяемая системой уравнений (4). Общее решение системы (4) в векторной форме имеет вид

где

общее решение соответствующей однородной системы (3) и а — некоторый фиксированный вектор (одно из решений системы (4)). Если при и то записывая равенство (14) в координатах, получим параметрические

уравнения -мерной плоскости:

Если ранг матрицы коэффициентов системы (4) равен соответствующую (одномерную) плоскость выше мы назвали прямой. В этом случае общее решение системы (4) в векторной форме имеет вид

где — общее решение соответствующей однородной системы и — некоторый фиксированный вектор (рис 7).

Рис. 7.

Если то, записывая уравнение (15) в координатах, получим параметрические уравнения прямой:

которые, исключая параметр а, можно переписать в виде

(Это — канонические уравнения прямой. Они имеют смысл и в том случае, если некоторые из знаменателей обращаются в нуль — тогда равны нулю и соответствующие числители). Если в пространстве А даны две точки то проходящая через них прямая определяется, очевидно, уравнениями

Обозначив равные отношения (16) через получим параметрические уравнения прямой

или

Полагая будем иметь

Если — вещественные, причем 1 и, значит то говорят, что соответствующая точка х принадлежит отрезку АВ.

Если ранг матрицы коэффициентов системы (4) равен то определяемая ею плоскость двумерна, и общее решение, системы в векторной форме имеет вид

где — общее решение соответствующей однородной системы (3), а - некоторый фиксированный вектор. Если то координаты точек этой плоскости определяются формулами

(параметрические уравнения двумерной плоскости).

Пусть в аффинном пространстве даны две плоскости: -мерная плоскость , определяемая системой уравнений (4), и -мерная плоскость , определяемая системой уравнений

Тогда их пересечение (т. е. множество точек, принадлежащих одновременно и ) будет определяться системой, состоящей из всех уравнений системы (4) и всех уравнений системы (18), и значит тоже будет некоторой плоскостью (которая, в частности, может состоять из одной точки или даже вообще не содержать ни одной точки, если объединенная система окажется

несовместной). Легко видеть, что каждая -мерная плоскость в является пересечением некоторых гиперплоскостей.