§ 8. Прямое произведение групп

Определение 5. Пусть даны группа и две ее подгруппы причем выполнены следующие условия:

1) являются нормальными подгруппами группы

2) пересечение состоит только из единицы

3) каждый элемент группы может быть представлен в виде произведения где

Тогда группа называется прямым произведением своих подгрупп (Это записывается так:

Теорема 6. I. Каждый элемент группы однозначно представляется в виде произведения где

II. Каждый элемент коммутирует с каждым элементом

Доказательство. I. Предположим, что какой-то элемент группы двумя способами представлен в виде произведения элементов подгрупп

Умножая обе части последнего равенства слева на а справа — на получим

Но значит, элемент (3)

принадлежит пересечению он равен

откуда

II. Пусть Рассмотрим так называемый коммутатор этих элементов:

Произведение так как — нормальная подгруппа, и значит, произведение Да принадлежит . С другой стороны, произведение принадлежит так как — нормальная подгруппа, и значит, произведение принадлежит Таким образом, коммутатор (4) принадлежит пересечению , и потому он равен Умножая последнее равенство слева на получим

т. е. любой элемент из Коммутирует с любым элементом из

Аналогично можно определить прямое произведение множителей. Здесь все под группы являются нормальными подгруппами пересечение каждой из подгрупп с подгруппой, порожденной в всеми остальными множителями состоит только из единицы, и каждый элемент группы можно представить в виде произведения где

Легко видеть, что порядок прямого произведения конечных групп равен произведению порядков сомножителей.

Теорема 7. Пусть даны две группы А и тогда существует такая группа С, которая является прямым произведением своих подгрупп соответственно изоморфных данным, группам А и В.

Доказательство. Будем обозначать элементы группы А буквами а, аэлементы группы В — буквами Рассмотрим множество всевозможных пар элементов где Произведение двух таких пар, по определению, положим равным

Легко видеть, что множество пар так определенным умножением является группой, единицей которой служит пара где — единица группы а — единица группы В, Множество

пар вида образует в подгруппу, изоморфную, очевидно, группе А, а множество пар вида под утгп у, изоморфную В.

Покажем, что группа является прямым произведен своих подгрупп Действительно, пересечение подгрупп состоит только из единицы — пары Каждый элемент из является произведением элемента из и элемента из Наконец, каждая из подгрупп является в нормальной подгруппой. Покажем это, например, для Рассмотрим произведение где — произвольный элемент из , а принадлежит Мы имеем, очевидно,

и значит; подгруппа — нормальная.

Та, например, прямое произведение двух циклических групп второго порядка состоит из четырех элементов

Легко видеть, что эта группа изоморфна клейновской группе V четвертого порядка.

Прямое произведение циклической группы порядка нециклической группы третьего порядка состоит из элементов

и является циклической группой шестого порядка, так как, например,