§ 10. Характеры группы вращений куба и группы симметрии тетраэдра

Число классов сопряженных элементов группы вращений куба О равно 5, порядок ее 24.

Из равенства

видим, что группа имеет два одномерных, одно двумерное и два трехмерных представления. Найдем их характеры.

Группа О изоморфна группе подстановок из четырех элементов. Подстановки бывают четные и нечетные. Произведение двух подстановок одинаковой четности — четно, произведение подстановок разной четности — нечетно. Поэтому для группы (как и для каждой симметрической группы) мы сразу получаем два одномерных представления — единичное и такое, которое всем четным подстановкам ставит в соответствие 1, а всем нечетным подстановкам

Каким же вращениям куба отвечают четные подстановки? Выше мы нашли, что группа О состоит из 5 классов сопряженных элементов, содержащих один, шесть, три, восемь и шесть элементов. Четные подстановки образуют в группе нормальную подгруппу порядка. Но нормальная подгруппа должна содержать целиком несколько классов сопряженных элементов. Кроме того, единичный элемент обязательно должен в нее войти. Следовательно, кроме единицы, в эту нормальную подгруппу войдут элементы, образующие классы из восьми и трех элементов.

Восемь элементов образуют повороты вокруг диагоналей на углы — класс Три элемента — это повороты вокруг осей четвертого порядка на угол я — класс Остальные элементы группы: класс, состоящий из поворотов вокруг осей четвертого порядка на углы — это и класс, состоящий из 6 поворотов вокруг осей второго порядка —

Итак, характеры одномерных представлений группы О:

Чтобы найти характер одного из трехмерных представлений группы О (а она сама является одним из своих трехмерных представлений), снова будем каждый раз ось вращений принимать за ось Так мы получим матрицы

Соответствующий характер

Далее, если мы уже имеем одно трехмерное представление группы О, то второе можно получить следующим образом: не изменяя преобразований соответствующих четным подстановкам, все остальные умножим на — 1. Покажем, что при этом мы снова получим представление группы О. Пусть первое (трехмерное) представление обозначено через Г, второе — через Г, и пусть , тогда Если оба элемента отвечают четным подстановкам, то и элемент тоже отвечает четной подстановке; при этом и значит,

Если элементы отвечают нечетным подстановкам, то по-прежнему четно, и откуда

Наконец, если элементу а соответствует четная, а элементу — нечетная подстановка, то элементу отвечает нечетная подстановка, и мы имеем и значит,

При умножении преобразования на —1 его матрица в любом базисе, — а значит, и ее след — умножаются на — 1. Поэтому второе трехмерное представление группы О будет иметь характер

Оба трехмерных представления неприводимы, поскольку

и не изоморфны между собой:

Наконец, характер двумерного представления можно найти алгебраически. Пусть

Запишем условия ортогональности этого характера к четырем, уже найденным:

Складывая и вычитая первые два уравнения, получим

А складывая и вычитая третье и четвертое, будем иметь

Следовательно,

и значит, характер двумерного представления группы О таков:

Легко видеть, что и это представление неприводимо:

Выпишем полную таблицу характеров группы вращений куба:

Группа симметрии тетраэдра изоморфна группе О, и ее таблица характеров идентична таблице характеров группы О: