Главная > Линейная алгебра и некоторые ее приложения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 10. Характеры группы вращений куба и группы симметрии тетраэдра

Число классов сопряженных элементов группы вращений куба О равно 5, порядок ее 24.

Из равенства

видим, что группа имеет два одномерных, одно двумерное и два трехмерных представления. Найдем их характеры.

Группа О изоморфна группе подстановок из четырех элементов. Подстановки бывают четные и нечетные. Произведение двух подстановок одинаковой четности — четно, произведение подстановок разной четности — нечетно. Поэтому для группы (как и для каждой симметрической группы) мы сразу получаем два одномерных представления — единичное и такое, которое всем четным подстановкам ставит в соответствие 1, а всем нечетным подстановкам

Каким же вращениям куба отвечают четные подстановки? Выше мы нашли, что группа О состоит из 5 классов сопряженных элементов, содержащих один, шесть, три, восемь и шесть элементов. Четные подстановки образуют в группе нормальную подгруппу порядка. Но нормальная подгруппа должна содержать целиком несколько классов сопряженных элементов. Кроме того, единичный элемент обязательно должен в нее войти. Следовательно, кроме единицы, в эту нормальную подгруппу войдут элементы, образующие классы из восьми и трех элементов.

Восемь элементов образуют повороты вокруг диагоналей на углы — класс Три элемента — это повороты вокруг осей четвертого порядка на угол я — класс Остальные элементы группы: класс, состоящий из поворотов вокруг осей четвертого порядка на углы — это и класс, состоящий из 6 поворотов вокруг осей второго порядка —

Итак, характеры одномерных представлений группы О:

Чтобы найти характер одного из трехмерных представлений группы О (а она сама является одним из своих трехмерных представлений), снова будем каждый раз ось вращений принимать за ось Так мы получим матрицы

Соответствующий характер

Далее, если мы уже имеем одно трехмерное представление группы О, то второе можно получить следующим образом: не изменяя преобразований соответствующих четным подстановкам, все остальные умножим на — 1. Покажем, что при этом мы снова получим представление группы О. Пусть первое (трехмерное) представление обозначено через Г, второе — через Г, и пусть , тогда Если оба элемента отвечают четным подстановкам, то и элемент тоже отвечает четной подстановке; при этом и значит,

Если элементы отвечают нечетным подстановкам, то по-прежнему четно, и откуда

Наконец, если элементу а соответствует четная, а элементу нечетная подстановка, то элементу отвечает нечетная подстановка, и мы имеем и значит,

При умножении преобразования на —1 его матрица в любом базисе, — а значит, и ее след — умножаются на — 1. Поэтому второе трехмерное представление группы О будет иметь характер

Оба трехмерных представления неприводимы, поскольку

и не изоморфны между собой:

Наконец, характер двумерного представления можно найти алгебраически. Пусть

Запишем условия ортогональности этого характера к четырем, уже найденным:

Складывая и вычитая первые два уравнения, получим

А складывая и вычитая третье и четвертое, будем иметь

Следовательно,

и значит, характер двумерного представления группы О таков:

Легко видеть, что и это представление неприводимо:

Выпишем полную таблицу характеров группы вращений куба:

Группа симметрии тетраэдра изоморфна группе О, и ее таблица характеров идентична таблице характеров группы О:

1
Оглавление
email@scask.ru