§ 5. Пространство событий. Принцип относительности Галилея

Предположим, что точка М движется вдоль прямой линии. I, на которой установлена система отсчета . Это значит, что на этой прямой расположена шкала с соответствующими делениями и в каждой точке прямой имеются синхронизированные между собой часы.

Пусть в момент времени координата точки М равна Это обстоятельство, или, как мы будем говорить, «событие», можно отметить на некоторой (двумерной) плоскости Р точкой с координатами . Плоскость Р называется пространством событий.

С течением времени координаты точки в пространстве событий меняются, даже если точка М не меняет своего положения на прямой I — за изменения времени Таким образом, существование точки в пространстве и времени будет отмечено некоторой линией в плоскости Р. Прямой эта линия будет в том и только в том случае, если точка М движется по прямой I с постоянной скоростью, и тогда ее положение в плоскости Р будет определяться уравнением

где - положение точки в момент Если точка М неподвижна на прямой I («движетея с нулевой скоростью»), то соответствующая ей в плоскости Р прямая параллельна оси

Предположим, что вдоль прямой I равномерно со скоростью движется другая система отсчета, причем в начальный момент времени начала координат обеих систем совпадают: при Тогда координата х точки М в системе и координата ее х в системе будут связаны соотношением

При этом считается, что время в системе и время в системе одно и то же: для одного и того же события

Преобразования

или, что то же самое,

называются преобразованиями Галилея. Из них дифференцированием по получаем

или

где — скорость точки в системе , а и скорость ее в системе . Это — закон сложения скоростей в классической механике: скорость и точки в старой системе отсчета равна ее скорости и в новой системе, сложенной с «переносной» скоростью (скоростью движения новой системы отсчета относительно старой). Дифференцируя по еще раз, получаем

Таким образом, ускорения точки М в системе и в системе одинаковы, откуда делается вывод, что одинаковые силы вызывают в обеих системах одинаковые следствия (описываемые вторым законом Ньютона: вызванное силой ускорение прямо пропорционально этой силе). Другими словами это выражают, говоря, что законы механики инварианты относительно преобразований Галилея (принцип относительности Галилея).

Вернемся к формулам (8). Они показывают, что при переходе от системы к системе координаты точек пространства событий подвергаются линейному

преобразованию с матрицей

Это обстоятельство наводит на мысль ввзсти в пространстве событий полуевклидову метрику. Тогда расстояние между событиями будет иметь определенный физический смысл: оно будет равно — временному интервалу, протекшему между событиями А и В.

Далее, так как переход от одной системы координат к другой задается матрицей (10), то инвариантным окажется и введенное в § 2 понятие угла. Чтобы выяснить его физический смысл, рассмотрим две равномерно движущиеся по прямой точки Скорости их обозначим соответственно через В плоскости Р их движения определяются прямыми Пусть — точка пересечения этих прямых (это значит, что при обе точки, находились в одном и том же месте прямой — имели абсциссу

Предположим, что при точка имеет абсциссу а при точка — абсциссу Тогда угол между прямыми и (в полуевклидовой метрике) равен углу между векторами где (рис. 22), и значит, он равен

— относительной скорости движения этих точек.

Рис. 22.

При такой интерпретации расстояния и угла теоремы 1, 2 и 3 на стр. 246 получают определенный физический смысл, установить который предоставляется читателю.