§ 14. Тензорное произведение представлений (представления прямого произведения групп)

Наша ближайшая задача состоит в следующем. Предположим, что группа равна прямому произведению своих подгрупп . Спрашивается, как, зная все неприводимые представления групп А и В, найти все неприводимые представления их прямого произведения

Пусть — какое-нибудь представление группы А и — представление группы В. Если где — произвольный элемент группы то по определению, положим

Проверим, что так мы действительно получим представление группы т. е. что если произвольные элементы группы (где то

Мы имеем так как — представление группы А, и поскольку — представление группы В. Пользуясь определением оператора Г и тождеством (3) из предыдущего параграфа получаем

т. е. Г — действительно представление группы

Представление Г группы называется тензорным произведением представлений и и обозначается символом

Пусть, далее, — характер представления — характер их — характер их тензорного произведения Тогда, если где , то

т. е.

Это — важная формула, выражающая характер представления прямого произведения групп через характеры представлений сомножителей.

Пример. Мы знаем, что группа , где -циклические группы второго порядка (см. стр. 297). Зная характеры представлений этих групп:

мы можем составить таблицу характеров их прямого произведения — группы

(разумеется, совпадающую с найденной на стр. 327).

Теорема 6. Пусть группа равна прямому произведению Если представления группы А и группы В неприводимы, то и их тензорное произведение неприводимо.

Доказательство. Пусть — характер представления — характер представления — порядок группы — порядок группы В. Пусть, далее, — все элементы группы и все элементы группы В. Тогда элементами группы будут всевозможные произведения где .

Пусть x — характер тензорного произведения Вычислим его скалярный квадрат:

Но так как оба представления и по условию, неприводимы. Следовательно, и значит, представление неприводимо.

Теорема 7. Каждое неприводимое представление группы изоморфно тензорному произведению некоторого неприводимого представления группы А и некоторого неприводимого представления группы В.

Доказательство. Предположим, что число классов сопряженных элементов группы А равно а число классов группы В — равно и пусть — все неприводимые неизоморфные между собой представления группы — все неприводимые попарно неизоморфные представления группы В. Тогда всевозможные тензорные произведения являются, по теореме неприводимыми представлениями группы Число таких представлений равно Число классов сопряженных элементов группы тоже равно (следствие из теоремы 10 § 10 главы X). Значит, если мы докажем, что произведения изоморфны между собой, то это и будут все неприводимые представления группы чем наше утверждение и будет доказано.

Вычислим скалярное произведение характеров двух таких представлений

Так как либо не изоморфно либо не изоморфно возможно, что имеет место и то, и другое), то по крайней мере одно из скалярных произведений в правой части равно 0. Следовательно, представления и группы не изоморфны между собой.