§ 4. Изменение матрицы линейного оператора при переходе к новому базису

Пусть линейный оператор действующий в пространстве в базисе имеет матрицу а в базисе вообще говоря, другую матрицу Найдем, как связаны между собой матрицы А и

Обозначим через матрицу перехода от базиса ей к базису Тогда

Будем матрицу С рассматривать как матрицу линейного оператора в базисе ей Тогда очевидно, что

и значит, линейный оператор переводит векторы соответственно в векторы

Определитель матрицы С отличен от нуля (§ 6 главы II), а значит, для существует обратный оператор такой, . По условию,

Применяя к обеим частям этого равенства оператор получим

Подставляя в левую часть последнего равенства будем иметь

матрицей оператора в базисе является матрица Но, с другой стороны, матрица этого оператора равна произведению матриц операторов в базисе т. е.

Отсюда, в частности, следует, что определитель матрицы линейного оператора не зависит от базиса:

(см. следствие на стр. 106).

Пример. В базисе преобразование имеет матрицу Написать матрицу этрго преобразования в базисе

Решение. Матрица перехода здесь , а обратная к ней матрица Следовательно,

Формулу (5) можно получить еще и следующим образом. Как показано в § 3, имеем

Следовательно, , откуда . Но , и значит, . (Легко видеть, что из матричного равенства справедливого при всех X — если В и одного строения, вытекает, что