§ 5. Ранг и дефект линейного оператора

Определение 2. Пусть — линейный оператор, действующий в пространстве Совокупность всевозможных векторов вида где называется областью значений оператора или образом пространства при преобразовании а множество всевозможных векторов х, для которых — ядром оператора

Покажем, что область значений и ядро линейного оператора являются подпространствами в

Действительно, для области значений это вытекает из теоремы 1, если рассматриваемое в ней подпространство совпадает со всем пространством

С другой стороны, если т. е. если то и и значит, — подпространство.

Размерность области значений оператора совпадает с рангом матрицы А (и называется рангом оператора Действительно, подпространство порождается векторами

где — любой базис пространства и значит, размерность равна максимальному числу линейно независимых векторов в системе (6), т. е. равна максимальному числу линейно независимых столбцов матрицы

Размерность ядра называется дефектом линейного оператора

Теорема 4. Сумма ранга и дефекта линейного оператора равна размерности пространства.

Доказательство. Если ранг линейного оператора равен то среди векторов найдется линейно независимых, через которые линейно выражаются все остальные. Пусть, для определенности, это будут

Обозначим через подпространство, порожденное в векторами и покажем, что (r-мерное) подпространство и ядро пересекаются только по нулевому вектору. Действительно, если то Но так как векторы линейно независимы, то

Покажем теперь, что подпространства и порождают все (т. е. что их сумма совпадает с Пусть х — произвольный вектор из Тогда , следовательно, Вектор принадлежит, очевидно, а разность так как Мы нашли, что где

Таким образом, пространство равно прямой сумме подпространств и а значит, его размерность равна сумме размерностей этих подпространств.

В дальнейшем нам понадобится еще такое

Определение 2. Пусть — линейный оператор, отображающий пространство в пространство (вообще говоря, другой размерности). Тогда множество всех векторов у из вида где называется областью значений оператора (или образом пространства при отображении а множество всех векторов х из таких, что его ядром.

Нетрудно видеть, что область значений оператора заявляется подпространством в а его ядро — подпространством в (докажите это),