§ 12. Переход к новой системе координат
Посмотрим, как преобразуются координаты точки аффинного пространства 
при переходе к новой системе координат.
Пусть сперва изменяется только начало координат. Предположим, что новое начало помещено в точку О, координаты которой в старой системе (ось 
Для любой точки X из 
имеем
Координаты вектора 
— это координаты точки X в старой системе координат; координаты вектора 
— координаты точки X в новой системе; координаты вектора 
— это координаты точки О в старой системе, т. е. 
Из равенства (12) получаем 
или, в, координатах,
новые координаты точки получаются, если из старых ее координат вычесть координаты нового начала в старой системе координат.
Пусть теперь начало координат не меняется, но в векторном пространстве 
соответствующем 
выбирается новый базис с матрицей перехода
т. е. старый базис, образованный векторами 
заменяется новым, составленным из векторов 
где
Так как координаты точки X — это, по определению, координаты вектора 
то, как следует из § 6, старые координаты точки будут выражаться через новые ее координаты по формулам
В общем случае, когда и начало координат О переносится, в точку 
и базису, 
с помощью матрицы перехода (13) заменяется новым, старые координаты 
произвольной точки X и новые ее координаты 
связаны соотношениями
