§ 4. Диэдральные группы Dn

Диэдральную группу тоже можно интерпретировать по-разному. Например, можно определить ее как группу симметрии того же правильного -угольника. Тогда к поворотам вокруг центра на углы добавятся отражении относительно осей симметрии многоугольника. Покажем, что никаких других элементов эта группа не содержит, т. е. что она состоит в точности из элементов.

Группа симметрии -угольника содержит, очевидно, подгруппу состоящую из всех поворотов вокруг центра. Пусть все элементы этой подгруппы (напомним, что — поворот вокруг центра на угол Обозначим через отражение относительно одной какой-нибудь фиксированной оси симметрии многоугольника. Тогда . Пусть — произвольный элемент группы Тогда есть ортогональное преобразование, определитель которого равен, следовательно, +1 или —1. Если , то это — вращение, и значит, где . Если определитель то определитель произведения равен (так как определитель равен —1), и значит, откуда следует, что

Таким образом, каждый элемент группы может быть представлен либо в виде либо в виде где Значит, порядок группы равен

Диэдральную группу можно интерпретировать и иначе: ее можно рассматривать как группу вращений правильного -угольника, но не в его плоскости, а в пространстве. Тогда — это поворот вокруг оси, перпендикулярной плоскости многоугольника и

проходящей через его центр, на угол поворот в пространстве вокруг одной из осей симметрии многоугольника на угол .

Наконец, диэдральную группу можно еще рассматривать как группу вращений правильного диэдра — правильной бипирамиды, состоящей из двух одинаковых правильных пирамид, сложенных своими основаниями (рис. 30). Тогда — это поворот вокруг оси диэдра на угол — одно из «опрокидываний» - поворот на угол вокруг одной из осей симметрии лежащего в основании диэдра многоугольника.

При диэдр вырождается в отрезок, и группа изоморфна

Рис. 30.

При диэдр вырождается в ромб, и группа изоморфна группе симметрии ромба V. При получается группа симметрии треугольника; легко видеть, что она изоморфна — группе подстановок трех его вершин. При диэдральные группы некоммутативны.

Найдем классы сопряженных элементов диэдральной группы.

При поворотах вокруг горизонтальных осей (осей симметрии многоугольника) вертикальная ось диэдра переходит в (опрокидывается); она является, как говорят, двусторонней осью — ось эквивалентна Следовательно, поворот вокруг оси на угол а сопряжен с поворотом вокруг оси на тот же угол а, т. е. с, поворотом вокруг оси на угол — а. Таким образом, повороты сопряжены между собой, причем, очевидно, имеет место равенство

(Проверьте сами это равенство, выписав и перемножив соответствующие матрицы!) Никакой другой оси ось не эквивалентна, и поворот сопряжен только с

Следовательно, при нечетном повороты вокруг оси разбиваются на классы сопряженных элементов следующим образом:

Число таких классов равно При четном повороты вокруг оси разбиваются на классы:

Число этих классов равно

Далее, при нечетном все горизонтальные оси вращения эквивалентны между собой (рис. 31, а) — они переходят друг в друга при поворотах вокруг вертикальной оси

Рис. 31.

А так как углы поворотов вокруг всех этих осей одинаковы — они равны , то все эти повороты сопряжены между собой и образуют один класс сопряженных элементов.

При четном многоугольник имеет оси симметрия двух типов: диагонали и прямые, соединяющие середины противоположных сторон (рис. 31, б). Все первые оси между собой эквивалентны. Все вторые — тоже, но первые во вторые не переводятся никаким вращением — они не эквивалентны. Значит, при четном повороты вокруг горизонтальных осей образуют два класса

сопряженцых элементов: имеем: равенство на стр. 311)- и значит сопряжено с при всех

Таким образом, общее число классов сопряженных элементов в группе при нечетном равно , а при четном оно равно . Так, группа имеет 3 класса сопряженных элементов, группа имеет 5 классов, группа имеет 4 класса и группа имеет 6 классов сопряженных элементов.

Рис. 32.

Полезно еще заметить, что диэдральная группа порождается двумя «образующими»: элементами и со связывающими их «определяющими соотношениями»

Все остальные соотношения междз; элементами этой группы вытекают из «определяющих соотношений». Так, например,