ГЛАВА II. n-МЕРНОЕ ПРОСТРАНСТВО

§ 1. Что такое поле

В первой главе мы рассматривали системы линейных уравнений, коэффициентами которых являются числа. Мы намеренно не уточняли, какие именно числа; читатель мог считать эти коэффициенты произвольными вещественными числами — тогда и решения системы будут вещественными. Однако с тем же успехом он мог считать, что это — комплексные числа; тогда и решения системы были бы образованы комплексными числами, но все теорему из главы I остались бы справедливыми и для этого случая. С другой стороны, можно было бы ограничиться рассмотрением систем уравнений, с рациональными коэффициентами. Их решения будут образованы тоже рациональными числами, но все предложения первой главы останутся справедливыми.

Здесь все дело в том, что вещественные числа (а также комплексные или одни только рациональные числа) можно складывать и перемножать по известным правилам арифметики, получая при этом такие же числа. Это выражают словами: вещественные числа (а также комплексные, рациональные числа) образуют поле.

Полем называется множество элементов, для которых определены две алгебраические операции — сложение и умножение (так что сумма и произведение любых двух элементов из принадлежат причем выполнены следующие условия (аксиомы поля):

1. для всех из (сложение коммутативно).

2. для всех с из (сложение ассоциативно).

3. В множестве имеется нуль, т.е. такой элемент О, что для каждого а из сумма а

4. Для каждого а из существует такой (противоположный а) элемент —а, что

5. для всех из (умножение коммутативно).

6. для всех с из (умножение ассоциативно).

7. В множестве имеется единица — такой элемент 1, что для всякого а из имеем а

8. Для каждого отличного от нуля элемента а из имеется такой (обратный а) элемент что .

9. для всех с из (умножение дистрибутивно относительно сложения).

Ясно, что если коэффициенты системы линейный уравнений с неизвестными принадлежат полю то и решение ее (если оно существует) следует искать среди наборов из элементов поля Поля, которые на практике встречаются чаще всего, — это поле вещественных чисел, поле комплексных чисел и (реже) поле рациональных чисел. Поле рациональных чисел является, очевидно, частью (или, как говорят, подполем) поля вещественных чисел; последнее же содержится в качестве подполя в поле комплексных чисел.

В дальнейшем, говоря о числах, мы всегда будем иметь ввиду элементы некоторого фиксированного числового поля — обычно это будет либо поле вещественных чисел, либо поле комплексных чисел.

Полагая, что с полем вещественных чисел читатель достаточно, знаком, мы изложим кратко необходимые для дальнейшего сведения о комплексных числах.