§ 6. Нормальная подгруппа

Обобщим теперь конструкцию, которая в начале § 5 привела нас к понятию группы классов (факторгруппы) аддитивной группы целых чисел. Пусть А — подгруппа произвольной группы Образуем всевозможные левые смежные классы группы по подгруппе А и попытаемся определить умножение этих классов следующим образом: если даны два класса В и С, выберем из них по представителю: перемножим этих представителей и в качестве произведения возьмем тот класс, в котором содержится Необходимо только проверить, не зависит ли это определение произведения классов от выбора представителей в них. Итак, пусть с; можем ли мы верждать, что По условию, откуда Если группа коммутативна, то

и

В некоммутативной группе равенство (1), вообще говоря, места не имеет. Однако для нашей цели достаточно следующего, более слабого, чем коммутативность, условия: достаточно, чтобы произведение можно было представить в виде где , причем вообще говоря, отлично от Если это так, то и произведение классов не зависит от выбора представителей в них.

Итак, мы будем теперь предполагать, что подгруппа А обладает следующим свойством: для каждого элемента и произвольного элемента найдется элемент такой, что Это значит, что для

любого и произвольного произведение Обозначив через множество все возможных элементов вида , где дадим следующее

Определение 4. Подгруппа А группыназывается ее нормальной подгруппой, или нормальным делителем, или еще инвариантной подгруппой, если для любого элемента

Теорема 3. Пересечение двух нормальных подгрупп группы само является нормальной подгруппой

Доказательство. Пусть и — нормально подгруппы группы и Мы знаем, что — подгруппа в (§ 2). Далее, так как и то для любого элемента

и

а значит,

т. e. А — нормальная подгруппа группы G.

Теорема 4. Для того чтобы подгруппа А группы была ее нормальной подгруппой, необходимо и достаточно, чтобы для любого элемента имело место равенство

Доказательство. Достаточность условия (2) следует из определения 4. Для того чтобы доказать его необходимость, предположим, что — нормальная подгруппа группы тогда для любого элемента а значит, и в свою очередь, следует, что Но если

Теорема 5. Для того чтобы подгруппа А группы была ее нормальной подгруппой, необходимо и достаточно, чтобы левые и правые смежные классы группы по подгруппе А совпадали,

Доказательство. Из равенства

вытекает, что

т. е. что для любого левый и правый смежные классы, содержащие этот элемент, совпадают.

Обратно, если для любого

то

и А — нормальная подгруппа.

Так, в симметрической группе подгруппа будет нормальной подгруппой, подгруппы же нормальными не являются.

Легко видеть, что при любом знакопеременная подгруппа является нормальной подгруппой симметрической группы так как разложение группы по подгруппе (и левостороннее, и правостороннее) состоит из двух классов — самой подгруппы и множества В всех остальных элементов (т. е. множества всех нечетных подстановок). Совершенно аналогично этому в любой группе всякая подгруппа индекса 2 является нормальной подгруппой.

В коммутативной группе? любая подгруппа является, очевидно, нормальной.