ГЛАВА I. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ И СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

В этой главе содержится вспомогательный материал, относящийся к решению систем линейных уравнений (т. е. уравнений первой степени). Для исследования таких систем вводится важное понятие определителя. Результаты этой главы, - интересные и сами по себе, и в приложениях к аналитической геометрии, необходимы для понимания дальнейших глав книги,

§ 1. Системы уравнений с двумя и тремя неизвестными

При решении одного уравнения первой степени с одним неизвестным

возможны три случая:

1. Если , уравнение имеет единственное решение

2. Если уравнение имеет бесчисленное множество решений; любое число х удовлетворяет уравнению (так как ) и, значит, является его решением.

3. Если но уравнение не имеет решений, так как при подстановке вместо х любого числа в левой части получается нуль, в то время как правая часть отлична от нуля.

Из дальнейшего будет видно, что аналогичные три случая имеют место и при решении произвольной системы линейных уравнений.

Рассмотрим систему двух уравнений с двумя неизвестными:

Решением такой системы называется каждая пара значений подстановка которых вместо х и у обращает оба уравнения в тождества. Чтобы решить эту систему, умножим первое уравнение на второе — на и сложим их; мы получим

Отсюда, если , будем иметь

Аналогично находим, что

Таким образом, в случае, когда система (1) имеет единственное решение.

Выражения, стоящие в числителях и знаменателях правых частей равенств (2) и (3), устроены одинаково. А именно, рассмотрим квадратную таблицу чисел

Такие таблицы называются матрицами. Горизонтальные ряды образующих матрицу чисел называются ее строками, вертикальные — столбцами. Числа составляющие матрицу, называются ее элементами. В нашем примере мы имеем квадратную матрицу второго порядка. Диагональ, идущая из левого верхнего угла матрицы в правый нижний, называется ее главной диагональю. Знаменатели дробей, стоящих в правых частям равенств (2) и (3), устроены следующим образом: из произведения элементов, стоящих по главной диагонали матрицы А, вычитается произведение элементов, стоящих во второй, или побочной, ее диагонали:

Полученное выражение называется определителем матрицы А (определителем второго порядка) и обозначается так:

Таким образом, по определению,

В этих обозначениях числитель дроби, стоящей в прарой части равенства (2), представляет собой определитель

получающийся из знаменателя заменой первого столбца столбцом свободных членов, а числитель дроби, стоящей в правой части равенства определитель

получающийся из знаменателя заменой второго столбца столбцом свободных членов уравнений системы (1),

Итак, мы нашли, что если то

Это — формулы Крамера для решения системы двух уравнений с двумя неизвестными.

Пример. Пользуясь формулами Крамера, решить систему уравнений

Решение.

Рассмотрим теперь случай, когда

Равенство (4) можно переписать так:

т. е. в этом случае коэффициенты при неизвестных про порциональны. Если, кроме того, и

то и свободные члены пропорциональны коэффициентам при неизвестных, и мы имеем на самом деле одно уравнение с двумя неизвестными — оно допускает бесчисленное множество решений,

Наконец, если

т. е. если

то уравнения, очевидно, противоречат друг другу и система не имеет ни одного решения.

Рассмотрим теперь систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

Решением этой системы называется каждая такая тройка чисел при подстановке которых все три уравнения обращаются в тождества. Умножив первое уравнение второе - на третье — на

и сложив их все, мы получим

(коэффициенты при y и z, как легко видеть, будут равны нулю). Отсюда, если коэффициент при х отличен от нуля, получаем

Посмотрим, как устроено выражение, стоящее в знаменателе правой части равенства (6). Для этого рассмотрим квадратную таблицу (матрицу третьего порядка)

Будем снова называть главной диагональю диагональ, идущую из левого верхнего угла этой матрицы в правый нижний, и побочной — диагональ, идущую из левого нижнего угла в правый верхний.

Рис. 1.

Знаменатель в формуле (6) представляет собой алгебраическую сумму шести членов, каждый из которых является произведением трех элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца матрицы А, причем знак плюс имеет произведение элементов,

принадлежащих главной диагонали, и два произведения элементов, образующих в матрице (равнобедренные) треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали (рис. 1, а), а знак минус имеет произведение элементов, принадлежащих побочной диагонали, и два произведения элементов, образующих треугольники с основаниями, параллельными побочной диагонали (рис. 1, б).

Такое выражение называется определителем, составленным из матрицы А (определителем третьего порядка), и обозначается так:

Таким образом, по определению,

Выражение, стоящее в числителе правой части формулы (6), получается из знаменателя, если каждую букву а заменить буквой с тем же номером, т. е.

Аналогично можно показать, что при из системы (5) следуют равенства

где — определитель, получающийся из определителя заменой столбца столбцом свободных

членов. Это — формулы Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными.

Пример. Решить по формулам Крамера систему уравнений

Решение.

Следовательно,

Для того, чтобы понять, что такое определитель порядка, рассмотрим снова определители второго и третьего порядков:

и

Мы видим, что определитель есть алгебраическая сумма всевозможных произведений его элементов, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца.

Каждое такое произведение называется членом определителя. В каждом члене определителя второго порядка расположим множители в порядке следования столбцов:

и рассмотрим соответствующие расположения (перестановки) нижних индексов (указывающих номера строк):

В первом произведении эти индексы расположены по возрастанию, и соответствующее произведение входит в определитель со знаком плюс; во втором они, как говорят, образуют беспорядок, или инверсию, 2, 1, и соответствующий член входит в определитель со знаком минус.

В определителе третьего порядка шесть членов. Если в каждом из них расположить множители в порядке следования столбцов, то в членах, входящих со знаком плюс, нижние индексы образуют перестановки

Рассмотрим три пары индексов 1, 2; 1, 3 и 2, 3 из первой перестановки 1, 2, 3; числа каждой пары расположены по возрастанию — в этой перестановке нуль инверсий. Во второй перестановке 2, 3, 1 три пары индексов: 2, 3; 2, 1 и 3, 1, две из которых и 3,1, образуют инверсии. В третьей перестановке 3, 1, 2 — три пары индексов 3, 1; 1, 2 и 3, 2, из которых две и 3, 2, образуют инверсии.

Произведениям, входящим со знаком минус, соответствуют три перестановки индексов

причем в первой, как нетрудно видеть, три инверсии:

3, 2; 3, 1 и 2, 1, а во второй и третьей — по одной; соответственно 2, 1 и 3, 2. Таким образом, со знаком плюс входят те члены, у которых в перестановке индексов четное число инверсий, а со знаком минус — те, у которых это число нечетно.

Для дальнейшего нам будет удобно ввести для определителей второго и третьего порядков новые обозначения:

где все элементы определителя обозначены одной и той же буквой а с двумя индексами, первый из которых указывает номер строки, в которой стоит этот элемент, а второй — номер соответствующего столбца. (Элементы,

- например, первого определителя читаются так: а один один, а один два, а два один, а два два.) Тогда

и

где знак плюс стоит перед теми произведениями, в которых перестановка четная (т. е. имеет четное число инверсий), и знак минус — перед теми, где она нечетна. Это можно записать еще и так:

где а есть число инверсий в перестановке первых индексов, (вторые индексы расположены в порядке возрастания), а суммирование распространяется на все шесть перестановок из трех чисел 1, 2, 3.