§ 5. Группа вращений тетраэдра T

Рассмотрим правильный тетраэдр Он переходит в себя при следующих нетождественных поворотах:

а) При поворотах вокруг каждой из осей типа (рис. 32, а), соединяющих вершину тетраэдра с

центром противолежащей грани, на углы и -у. Всего таких вращений имеется

б) При поворотах на угол вокруг каждой из трех прямых типа соединяющих середины противоположных ребер (рис. 32, б). [Так как . и то при повороте вокруг прямой на угол точка В перейдет в ]

Всего, вместе с тождественным поворотом, мы имеем поворотов, при которых тетраэдр переходит в себя. Им отвечают, очевидно, такие подстановки вершин:

Нетрудно убедиться в том, что все эти подстановки — четные (проверьте и значит, соответствующие им повороты действительно образуют группу Т, изоморфную, очевидней знакопеременной подгруппе симметрической группы

Условимся о такой терминологии. Если данная конфигурация переходит в себя при повороте вокруг оси на угол (причем наименьший такой ненулевой угол), то ось будем называть осью симметрии порядка.

Поворот вокруг оси на угол будем обозначать символом (часто и сама эта ось обозначается ччерез поворот на угол тогда естественно обозначить через с, и т. д.

Найдем теперь классы сопряженных элементов группы Т. Каждая из осей симметрии третьего порядка может быть преобразована в любую другую ось третьего порядка при повороте, например, вокруг одной из осей второго порядка. Так, при повороте вокруг оси (рис. 32, в) точка Лпереходит в — в и в А, Плоскость переходит плоскость

центр Р грани — в центр грани и ось — в ось

Таким образом, все оси третьего порядка (типа ) эквивалентны между собой, и все повороты вокруг них на углы -у между собой сопряжены. Число таких поворотов равно 4, и соответствующий классс сопряженных элементов можно обозначить через Точно так же сопряжены между собой и 4 поворота вокруг тех же осей на углы у; соответствующий класс можно обозначить через Но повороты не сопряжены между собой, так как это — повороты на разные углы.

Далее, каждая из осей второго порядка (типа переходит в любую другую при одном из поворотов вокруг осей третьего порядка; значит, все оси второго порядка между собой эквивалентны, и три поворота вокруг этих осей на угол между собой сопряжены. Этот класс можно обозначить через

Учитывая, что тождественное преобразование составляет отдельный класс, мы получим в группе Т четыре класса сопряженных элементов, состоящих из одного четырех четырех и трех элементов.