§ 5. Группа вращений тетраэдра T
Рассмотрим правильный тетраэдр 
Он переходит в себя при следующих нетождественных поворотах:
а) При поворотах вокруг каждой из осей типа 
(рис. 32, а), соединяющих вершину тетраэдра с
центром противолежащей грани, на углы 
и -у. Всего таких вращений имеется 
б) При поворотах на угол 
вокруг каждой из трех прямых типа 
соединяющих середины противоположных ребер (рис. 32, б). [Так как 
. 
и 
то при повороте вокруг прямой 
на угол 
точка В перейдет в 
]
Всего, вместе с тождественным поворотом, мы имеем 
поворотов, при которых тетраэдр переходит в себя. Им отвечают, очевидно, такие подстановки вершин:
Нетрудно убедиться в том, что все эти подстановки — четные (проверьте 
и значит, соответствующие им повороты действительно образуют группу Т, изоморфную, очевидней знакопеременной подгруппе 
симметрической группы 
Условимся о такой терминологии. Если данная конфигурация переходит в себя при повороте вокруг оси 
на угол (причем 
наименьший такой ненулевой угол), то ось 
будем называть осью симметрии 
порядка.
Поворот вокруг оси 
на угол будем обозначать символом 
(часто и сама эта ось обозначается ччерез 
поворот на угол 
тогда естественно обозначить через с, и т. д.
Найдем теперь классы сопряженных элементов группы Т. Каждая из осей симметрии третьего порядка может быть преобразована в любую другую ось третьего порядка при повороте, например, вокруг одной из осей второго порядка. Так, при повороте вокруг оси 
(рис. 32, в) точка Лпереходит в 
— в 
и 
в А, Плоскость 
переходит 
плоскость 
центр Р грани 
— в центр 
грани 
и ось 
— в ось 
Таким образом, все оси третьего порядка (типа 
) эквивалентны между собой, и все повороты вокруг них на углы -у между собой сопряжены. Число таких поворотов равно 4, и соответствующий классс сопряженных элементов можно обозначить через 
Точно так же сопряжены между собой и 4 поворота вокруг тех же осей на углы у; соответствующий класс можно обозначить через 
Но повороты 
не сопряжены между собой, так как это — повороты на разные углы.
Далее, каждая из осей второго порядка (типа 
переходит в любую другую при одном из поворотов вокруг осей третьего порядка; значит, все оси второго порядка между собой эквивалентны, и три поворота вокруг этих осей на угол 
между собой сопряжены. Этот класс можно обозначить через 
Учитывая, что тождественное преобразование составляет отдельный класс, мы получим в группе Т четыре класса сопряженных элементов, состоящих из одного 
четырех 
четырех 
и трех 
элементов.
