§ 4. Псевдоортогональный оператор

Линейный оператор псевдоевклидова пространства называется псевдоортогоналъным, если он сохраняет скалярное произведение, т. е. если для всех

Пусть — псевдоортогональный оператор в псевдоевклидовой плоскости и

— его матрица в ортонормированном базисе Мы имеем

По определению,

и

т. е.

и

Из равенств (4а) видно, что . Из равенства (46) следует, что

Обозначив равные отношения (5) через получим

Подставляя эти значения в равенства (4а), найдем, что

и

Таким образом, матрица оператора имеет вид

причем, как видно из равенств (6), оба элемента первого столбца, так же как и оба элемента второго столбца, берутся с одним и тем же знаком. Матрицу такого вида будем называть псевдоортогональной.

Если обозначить через матрицу

то, как легко видеть,

(преобразования отличаются от осевой, а — центральной симметрией).

Определители

Заметим, что, поскольку , то найдется такое , что и тогда

Это преобразование называется гиперболическим поворотом.

Пусть в псевдоевклидовой плоскости имеются два ортонормированиих базиса, и

— матрица перехода от первого ко второму. Рассмотрим линейный оператор с матрицей А в базисе и покажем, что он — псевдоортогональный. Действительно, по условию,

Если — произвольные векторы из то

и

А так как оба базиса ортонормированные, то скалярное произведение

Значит, оператор — псевдоортогональный, и его матрица имеет вид (7).