Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 4. Ортогональный операторВ этом параграфе евклидово пространство Определение 4. Линейный оператор
Таким образом, ортогональный оператор сохраняет скалярное произведение, и значит, он сохраняет длины векторов и углы между ними. Если
Для всех
При этом равенство Свойства ортогональных операторов. 1. Тождественный оператор 8 является ортогональным, так как
2. Произведение ортогональных операторов является ортогональным, так как если операторы
3. Оператор, обратный ортогональному оператору, тоже является ортогональным, так как если 4. Если Ясно, что ортогональный оператор переводит любой ортонормированный базис в ортонормированный. Покажем, что верно и обратное: линейный оператор
то
и
Пусть
и
Таким образом, столбцы матрицы А, рассматриваемые как векторы, сами образуют ортонормированную систему. Это же верно и для строк. Действительно, если столбды матрицы А, т. е. строки матрицы А, тоже образуют ортонормированную систему:
и
Матрица А, для которой
называется ортогональной матрицей; она характеризуется соотношениями (2) и (равносильными им) соотношениями (3). Мы показали, что матрица ортогонального оператора в любом ортонормированном базисе является ортогональной; обратно, если в каком-то ортонормированном базисе матрица оператора Теорема 6. Если подпространство Доказательство. Так как Теорема 7. Собственные значения ортогонального оператора равны ±1. Доказательство. Пусть х — собственный вектор и X — соответствующее ему собственное значение ортогонального оператора
откуда получаем (поскольку
Теорема 8. Определитель ортогональной матрицы равен Доказательство. Из равенства Выясним, что собой представляет произвольный ортогональный оператор, действующий в (вещественном) Пусть теперь
— его матрица в некотором ортонормированием базисе. Тода, как мы знаем,
В силу первых двух равенств найдутся такие
откуда следует, что
В первом случае
т. е. преобразование Во втором случае
Эта матрица — симметрическая, значит, ортогональное преобразование к диагональному виду. Но так как собственные значения здесь находятся непосредственно:
откуда
Произвольный вектор х, в новом базисе равный — первым базисным вектором нового базиса (рис. 14), Таким образом, ортогональное преобразование плоскости — это либо поворот вокруг начала координат на некоторый угол
Рис. 14. Из доказанного, в частности, вытекают две теоремы (плоской) элементарной геометрии: 1. Произведение двух осевых симметрий является поворотом вокруг точки пересечения осей симметрии (так как, это — ортогональное преобразование с определителем, равным 2. Произведение поворота и симметрии, ось которой проходит через центр поворота, является симметрией относительно некоторой новой оси, проходящей через ту же точку (так как это — ортогональное преобразование с определителем, равным — 1). Перейдем теперь к общему случаю ортогонального оператора, действующего в Теорема 9. Матрица ортогонального оператора в некотором ортонормированном базисе приводится к виду
(Все остальные элементы этой матрицы равны нулю.) Доказательство проведем методом математической индукции. Мы уже установили справедливость этой теоремы при 1. Оператор 2. Оператор базис Подпространство Геометрический смысл ортогонального преобразования виден из последней теоремы. Так как каждая матрица вида (5) является произведением нескольких матриц вида
и нескольких матриц вида
то ортогональное преобразование относительно «координатных гиперплоскостей» (матрица каждого такого преобразования имеет вид (6)) и несколько поворотов вокруг Объединяя в матрице (5) два соседних элемента
мы (возможно, после изменения нумерации базисных векторов) получим четыре типа ортогональных матриц (заштрихованы клетки вида
|
1 |
Оглавление
|