§ 4. Ортогональный оператор

В этом параграфе евклидово пространство предполагается вещественным.

Определение 4. Линейный оператор в вещественном евклидовом пространстве казывается ортогональным, если

Таким образом, ортогональный оператор сохраняет скалярное произведение, и значит, он сохраняет длины векторов и углы между ними.

Если — ортогональный оператор и сопряженный ему оператор, то

Для всех Следовательно, — по лемме из § 2, или

При этом равенство является необходимым и достаточным условием для того, чтобы линейный оператор был ортогональным. Отсюда, в частности, видно, что ортогональный оператор всегда невырожденный.

Свойства ортогональных операторов.

1. Тождественный оператор 8 является ортогональным, так как для всякого х, и значит,

2. Произведение ортогональных операторов является ортогональным, так как если операторы и Я ортогональны, то

3. Оператор, обратный ортогональному оператору, тоже является ортогональным, так как если то из § 2).

4. Если — ортогональный оператор, то произведение будет ортогональным в том и только в том случае, если это видно из равенства

Ясно, что ортогональный оператор переводит любой ортонормированный базис в ортонормированный. Покажем, что верно и обратное: линейный оператор переводящий хотя бы один ортонормированный базис в ортонормированный, является ортогональным. Действительно, пусть ортонормированный базис оператором переводится в ортонормированный базис Тогда, если

то

и

Пусть — матрица ортогонального оператора в ортонормированном базисе Так как под действием ортогонального оператора ортонормированный базис переходит в ортонормированный, то образы базисных векторов сами образуют ортонормированный базис. А значит, при при всех т. е.

и

Таким образом, столбцы матрицы А, рассматриваемые как векторы, сами образуют ортонормированную систему. Это же верно и для строк. Действительно, если — ортогональный оператор, то — оператор тоже ортогональный, и значит,

столбды матрицы А, т. е. строки матрицы А, тоже образуют ортонормированную систему:

и

Матрица А, для которой

называется ортогональной матрицей; она характеризуется соотношениями (2) и (равносильными им) соотношениями (3). Мы показали, что матрица ортогонального оператора в любом ортонормированном базисе является ортогональной; обратно, если в каком-то ортонормированном базисе матрица оператора ортогональна: то и оператор является ортогональным.

Теорема 6. Если подпространство инвариантно относительно ортогонального оператора то его ортогональное дополнение тоже инвариантно относительно

Доказательство. Так как ортогональный оператор, то По теореме 1, подпространство инвариантно относительно оператора но в таком случае в силу теоремы 5 главы III оно инвариантно и относительно

Теорема 7. Собственные значения ортогонального оператора равны ±1.

Доказательство. Пусть х — собственный вектор и X — соответствующее ему собственное значение ортогонального оператора Тогда

откуда получаем (поскольку )

Теорема 8. Определитель ортогональной матрицы равен

Доказательство. Из равенства следует, что Но так как

Выясним, что собой представляет произвольный ортогональный оператор, действующий в (вещественном) -мерном евклидовом пространстве. Пусть сначала ортогональное преобразование прямой Тогда , значит, где либо тождественное преобразование, либо центральная симметрия.

Пусть теперь — ортогональное преобразование плоскости и

— его матрица в некотором ортонормированием базисе. Тода, как мы знаем,

В силу первых двух равенств найдутся такие что Но тогда третье равенство дает

откуда следует, что

В первом случае и мы имеем

т. е. преобразование — это поворот на угол вокруг начала координат. (В частности, при это тождественное преобразование, а при — симметрия относительно начала координат.)

Во втором случае и

Эта матрица — симметрическая, значит, ортогональное преобразование является и самосопряженным; т. е. в некотором (вообще говоря, новом) ортонормированном базисе его матрица приводится

к диагональному виду. Но так как собственные значения здесь находятся непосредственно:

откуда то матрица преобразования приведется к виду

Произвольный вектор х, в новом базисе равный преобразуется в . Это — симметрия относительно прямой, определяемой вектором

— первым базисным вектором нового базиса (рис. 14), Таким образом, ортогональное преобразование плоскости — это либо поворот вокруг начала координат на некоторый угол частности, тождественное преобразование или центральная симметрия; определитель такого преобразования равен либо — осевая симметрия (с определителем, равным — 1).

Рис. 14.

Из доказанного, в частности, вытекают две теоремы (плоской) элементарной геометрии:

1. Произведение двух осевых симметрий является поворотом вокруг точки пересечения осей симметрии (так как, это — ортогональное преобразование с определителем, равным

2. Произведение поворота и симметрии, ось которой проходит через центр поворота, является симметрией относительно некоторой новой оси, проходящей через ту же точку (так как это — ортогональное преобразование с определителем, равным — 1).

Перейдем теперь к общему случаю ортогонального оператора, действующего в -мерном евклидовом пространстве.

Теорема 9. Матрица ортогонального оператора в некотором ортонормированном базисе приводится к виду

(Все остальные элементы этой матрицы равны нулю.)

Доказательство проведем методом математической индукции. Мы уже установили справедливость этой теоремы при Предположим, что теорема верна для всех пространств, размерность -рых меньше и пусть — -мерное евклидово пространство и действующий в нем ортогональный оператор. Возможны два случая.

1. Оператор имеет вещественное собственное значение (это обязательно будет так, если нечетно): Пусть — соответствующий (единичный) собственный вектор (тогда — порожденное вектором одномерное подпространство. В силу теоремы 6, (я — -мерное подпространство инвариантно относительно Ясно, что и в нем будет ортогональным оператором. По предположению индукции, в можно найти ортонормированный базис в котором матрица оператора приведется к виду (5). Учитывая замечание, сделанное в § 7 главы III, получаем, что (возможно, после соответствующего изменения нумерации базисных векторов) матрица оператора во всем пространстве в некотором ортонормированном базисе приведется к виду (5).

2. Оператор не имеет вещественных собственных значений. По теореме 8 из главы III, в R найдется двумерное инвариантное подпространство По доказанному выше, в плоскости можно найти ортонормированный

базис в котором матрица оператора приведется к виду (4а). (Другой случай, (46), здесь невозможен, так как, по предположению, оператор не имеет вещественных собственных значений.)

Подпространство инвариантно относительно По предположению индукции, в можно найти такой ортонормированный базис в котором матрица оператора приведется к виду (5). (В этом случае обязательно четно, и на главной диагонали этой матрицы совсем не будет чисел Ввиду замечания из § 7 главы III матрица оператора всего пространства в ортонормированном базисе приведется к виду (5).

Геометрический смысл ортогонального преобразования виден из последней теоремы. Так как каждая матрица вида (5) является произведением нескольких матриц вида

и нескольких матриц вида

то ортогональное преобразование можно осуществить, произведя последовательно несколько симметрий

относительно «координатных гиперплоскостей» (матрица каждого такого преобразования имеет вид (6)) и несколько поворотов вокруг осей» (каждый из которых имеет матрицу вида - это преобразование представляет собой одинаковый поворот, осуществляемый одновременно во всех двумерных плоскостях, перпендикулярных к (-мерной «оси» поворота.

Объединяя в матрице (5) два соседних элемента в «клетки»

мы (возможно, после изменения нумерации базисных векторов) получим четыре типа ортогональных матриц (заштрихованы клетки вида в частности, может равняться нулю или , а в пустых клетках все элементы равны нулю):