§ 6. Произвольный линейный оператор в евклидовом пространстве

Теорема 11. Всякий линейный оператор в комплексном евклидовом пространстве можно представить в виде где — эрмитовы операторы.

Доказательство. Допустим, что такое представление возможно; тогда

так как и Из равенств , находим, что

Легко видеть, что операторы

действительно являются самосопряженными и что

Представление напоминает разложение комплексного числа на вещественную и мнимую части (ведь самосопряженный оператор имеет вещественный спектр!). Более содержательна, однако, следующая

Теорема 12. Каждый невырожденный линейный оператор А в евклидовом пространстве можно представить в виде произведения где -самосопряженный оператор с положительными собственными значениями (такой оператор называется положительно определенным, или просто положительным), а -унитарный (а в случае вещественного пространства—ортогональный) оператор (собственные значения которого, как известно, по модулю равны 1).

[Такое разложение в произведение вида 11% линейного оператора напоминает тригонометрическую форму комплексного числа: если то где а число по модулю равно 1.]

Доказательство. Заметим сначала, что если А—произвольный линейный оператор в евклидовом пространстве, то оператор (так же, как и является самосопряженным, так как

Если оператор А - невырожденный, то при а значит Покажем, что в этом случае все собственные значения оператора положительны. Действительно, пусть -собственное значение, а х — соответствующий собственный вектор оператора 35. Тогда . В этом случае . Но . А так как то и

Докажем теперь само утверждение теоремы. Если оно справедливо, т. е. если оператор А можно

представить в указанном виде то оператор

Возьмем в качестве базиса пространства тот (орто-нормированный) базис, котором матрица (самосопряженного) оператора приводится к диагональному виду

где по доказанному все Обозначим через 5? «положительный квадратный корень» из 33, т. е. оператор , матрица которого в том же базисе имеет вид

Тогда ясно, что -положительно определенный оператор и что . Если теперь положить то оператор и нам остается только показать, что оператор -эрмитов (в вещественном случае — ортогональный). Но это видно из равенства

— и теорема доказана.

Аналогично можно доказать, что всякий невырожденный линейный оператор А можно представить и в виде где — положительно определенный, а - унитарный (ортогональный) операторы. Можно доказать, что указанное в теореме разложение единственно.

В случае вещественного пространства можно сказать, таким образом, что каждое невырожденное линей ное преобразование сводится к нескольким симметриям относительно гиперплоскостей, нескольким поворотам

около -мерных «осей» и нескольким растяжениям вдоль попарно ортогональных прямых.

Пример. Пусть оператор в базисе имеет невырожденную матрицу

Произведение

— симметрическая матрица, из которой надо «извлечь квадратный корень». Собственные значения В — это Соответствующий собственные векторы . В базисе матрица оператора приводится к виду Значит, «положительный квадратный корень» из нее — это Матрицей перехода от базиса к базису будет а обратной к ней Следовательно, в старом базисе матрица оператора — это

и тогда

(при этом — оператор представлен в виде произведения положительно определенного и унитарного операторов).