§ 6. Произвольный линейный оператор в евклидовом пространстве
Теорема 11. Всякий линейный оператор
в комплексном евклидовом пространстве можно представить в виде
где
— эрмитовы операторы.
Доказательство. Допустим, что такое представление возможно; тогда
так как
и Из равенств
, находим, что
Легко видеть, что операторы
действительно являются самосопряженными и что
Представление
напоминает разложение комплексного числа на вещественную и мнимую части (ведь самосопряженный оператор имеет вещественный спектр!). Более содержательна, однако, следующая
Теорема 12. Каждый невырожденный линейный оператор А в евклидовом пространстве можно представить в виде произведения
где
-самосопряженный оператор с положительными собственными значениями (такой оператор называется положительно определенным, или просто положительным), а
-унитарный (а в случае вещественного пространства—ортогональный) оператор (собственные значения которого, как известно, по модулю равны 1).
[Такое разложение в произведение вида 11% линейного оператора напоминает тригонометрическую форму комплексного числа: если
то
где
а число
по модулю равно 1.]
Доказательство. Заметим сначала, что если А—произвольный линейный оператор в евклидовом пространстве, то оператор
(так же, как и
является самосопряженным, так как
Если оператор А - невырожденный, то при
а значит
Покажем, что в этом случае все собственные значения оператора
положительны. Действительно, пусть
-собственное значение, а х — соответствующий собственный вектор оператора 35. Тогда
. В этом случае
. Но
. А так как
то и
Докажем теперь само утверждение теоремы. Если оно справедливо, т. е. если оператор А можно
представить в указанном виде
то оператор
Возьмем в качестве базиса пространства
тот (орто-нормированный) базис,
котором матрица (самосопряженного) оператора
приводится к диагональному виду
где по доказанному все
Обозначим через 5? «положительный квадратный корень» из 33, т. е. оператор
, матрица которого в том же базисе имеет вид
Тогда ясно, что
-положительно определенный оператор и что
. Если теперь положить
то оператор
и нам остается только показать, что оператор
-эрмитов (в вещественном случае — ортогональный). Но это видно из равенства
— и теорема доказана.
Аналогично можно доказать, что всякий невырожденный линейный оператор А можно представить и в виде
где
— положительно определенный, а
- унитарный (ортогональный) операторы. Можно доказать, что указанное в теореме разложение единственно.
В случае вещественного пространства можно сказать, таким образом, что каждое невырожденное линей ное преобразование сводится к нескольким симметриям относительно гиперплоскостей, нескольким поворотам