§ 9. Классы сопряженных элементов группы

Определение 6. Пусть — произвольная (для определенности, мультипликативная), группа и а — один из ее элементов. Каждый элемент вида называется сопряженным с а. (Условимся писать в этом случае а.) Говорят еще, что элемент получается. трансформированием элемента а с ломощью элемента

Отметим следующие свойства отношения сопряженности

1. Каждый элемент сопряжен самому себе, (рефлексивность отношения - так как

2. Если элемент , то (симметричность отношения так как из равенства вытекает, что

3. Если ; то (транзитивность отношения Действительно, из равенств вытекает, что

Таким образом, отношение сопряженности рефлексивно, симметрично и транзитивно, значит, оно является отношением эквивалентности (ем. стр. 289) и определяет разбиение группы на непересекающиеся классы сопряженных между собой элементов.

Множество элементов, сопряженных с данным элементом а (т. е. элементов вида где мы обозначим через Очевидно, что

Классы сопряженных элементов состоят, вообще говоря, не из одного и того же числа элементов. Единица всегда образует отдельный класс, так как при любом g. Вообще, каждый элемент, перестановочный со всеми остальными элементами группы, образует отдельный класс. В коммутативной группе каждый элемент образует отдельный класс, и значит, в коммутативной группе число классов сопряженных элементов равно порядку группы. В некоммутативной группе число, классов меньше порядка группы.

Порядки сопряженных между собой элементов одинаковы. Действительно, если то

Обратно, если то и и значит, те наименьшие степени, в которых элементы равны единице, одинаковы.

Пример. В симметрической группе элемент первого порядка, элементы — порядка 2, элементы — порядка 3. Единичный элемент сопряжен только сам с собой. Три элемента порядка 2 сопряжены между собой, так как, например,

Элементы тоже сопряжены между собой, так как Но элементы второго порядка не могут быть сопряжены с элементами третьего порядка. Таким образом, группа состоит из трех классов сопряженных элементов.

Мы видим, что число элементов в каждом классе делит порядок группы.

Теорема 8. Число элементов в каждом классе сопряженных между собой элементов конечной группы является делителем порядка группы.

Доказательство. Пусть — произвольная конечная группа и рбозначим через множество всех элементов группы, перестановочных с называется нормализатором элемента а.

Проверим, что является подгруппой группы 0. Действительно, если то а тогда и

Рассмотрим разложение группы на правые смежные классы по подгруппе и докажем, что между этими классами элементами, сопряженными, с а, существует взаимно однозначное соответствие. Для этого покажем, что два элемента х и у принадлежат одному и тому же смежному классу по то при трансформировании ими элемента а получается один и тот же элемент (сопряженный с а), и обратно. Пусть элементы х и у принадлежат одному и тому же смежному классу по тогда где Если то и

Обратно, пусть Тогда и нам надо показать, что Но произведение

откуда т. е. элементы и принадлежат одному и тому же смежному классу по Так получается взаимно однозначное соответствие между правыми смежными классами группы по подгруппе и элементами, сопряженными с а (элементу , сопряженному с а, соответствует правый смежный класс, состоящий из всех тех элементов группы С, при трансформировании которыми элемента а получается Следовательно, число элементов, сопряженных с а, равно числу классов в разложении группы по подгруппе т. е. равно индексу нормализатора элемента а в группе и и, значит, является делителем порядка группы (см. доказательство теоремы Лагранжа).

Теорема 9. Для того чтобы подгруппа группы была нормальной подгруппой у необходимо и достаточно, чтобы она содержала вместе с каждым своим элементом а и весь класс сопряженных с ним элементов

Доказательство этой теоремы непосредственно вытекает из определения нормальной подгруппы.

Пересечение нормализаторов всех элементов группы является подгруппой в (как и пересечение любого множества подгрупп}.

Оно состоит из всех тех элементов группы, каждый из которых коммутирует со всеми элементами группы, ,и называется центром группы. Центр группы является, очевидно, ее нормальной подгруппой.