§ 8. Понятие о линейной зависимости

Если обозначить строки матрицы А (см. § 7) через

то очевидно, что имеет место равенство

понимаемое в смысле поэлементного сложения: каждый элемент строки равен соответствующему элементу строки умноженному на 2, без соответствующего элемента строки умноженного на 3.

Вообще, если строки какой-то матрицы А и, например,

где — какие-то числа, мы будем говорить, что строка этой матрицы линейно выражается через первые ее строк, или что является линейной комбинацией строк Из равенства (17) вытекает, что

где нуль в правой части понимается как нулевая строка (т. е. как строка, состоящая из нулей).

Мы будем говорить, - что строки матрицы А линейно зависимы, если можно подобрать такие числа равные нулю одновременно, что

Если таких чисел не существует, т. е. если равенство (18) имеет место только в том случае, когда все то говорят, что строки линейно независимы.

Ясно, что если одна из строк матрицы линейно выражается через остальные, то строки этой матрицы

между собой линейно зависимы. Обратно, пусть между строками матрицы А имеется линейная зависимость (18). Так как хотя бы одно из чисел например отлично от нуля, то

т. е. в этом случае по. крайней мере одна из строк матрицы линейно выражается через остальные.

Аналогичное понятие линейной зависимости можно ввести и для столбцов матрицы.

Теорема 7 (о ранге матрицы). Если ранг матрицы равен то в этой матрице можно найти линейно независимых строк (столбцов), через которые линейно выражаются все остальные ее строки (столбцы).

Доказательство. Пусть дана -матрица А ранга Предположим, для определенности, что отличный от нуля минор порядка (так называемый базисный минор) этой матрицы расположен в левом верхнем углу, т. е. что

Докажем, что в таком случае первые строк матрицы А будут линейно независимы. (Если отличен от нуля не а какой-нибудь другой минор порядка матрицы А, то линейно независимыми будут именно те строки, которые образуют этот, базисный минор.) Предположим, что, наоборот, эти строки линейно зависимы; тогда одна из них, пусть, для определенности, линейно выражается через остальные:

Вычтем из строки матрицы А первую строку, умноженную на вторую, умноженную на наконец, умноженную на После таких преобразований строка матрицы А окажется состоящей из одних нулей. При этом определитель который, ввиду следствия из свойства 4, не должен был бы меняться, станет равным нулю. Полученное противоречие

и доказывает линейную независимость первых строк матрицы А.

Докажем теперь вторую часть теоремы — о том, что все остальные строки матрицы А линейно выражаются через первые ее строк. Пусть рассмотрим определитель порядка:

Он равен нулю при всех : если то у него два одинаковых столбца, если же то это — минор порядка матрицы ранга

Разложим определитель А по элементам последнего столбца

Алгебраические дополнения элементов последнего столбца зависят от но не зависят от так как при их вычислении последний столбец вычеркивается. Кроме того, , и значит, равенство (19) можно разделить на это дает

где коэффициенты не зависят от Подставляя , будем иметь

Но это означает, что строка матрицы А линейно выражается через первые ее строк:

Следствие 1. Максимальное число линейно независимых столбцов матрицы равно максимальному числу линейно независимых строк, так как при

транспонировании матрицы ее строки становятся столбцами, а ранг матрицы не меняется.

Следствие 2. Для того чтобы определитель был равен нулю, необходимо и достаточно, чтобы его строки (столбцы) были линейно зависимы.

Действительно, если определитель порядка равен нулю, то ранг соответствующей матрицы меньше и значит, ее строки (столбцы) линейно зависимы. Обратно, если строки (столбцы) определителя линейно зависимы, то ранг соответствующей матрицы меньше и этот определит ель (n-го порядка) равен нулю.