Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше
Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике
§ 5. Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве
Лемма. Пусть (вещественное) евклидово пространство и — матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому, тожз ортонормированному базису Тогда С — ортогональная матрица.
Доказательство. По условию,
Рассмотрим линейный оператор с матрицей С в базисе ей Мы имеем
Но оператор переводящий хотя бы один ортонормированный базис в ортонормированный же, — ортогональный (см. § 4 главы V). Следовательно, С — ортогональная матрица.
Пусть теперь в евклидовом пространстве выбран ортонормиррванный базис и пусть дан билинейный функционал который в этом базисе представляется билинейной формой
где Рассмотрим линейный оператор с той матрицей А в том же базисе При переходе к новому оазису с матрицей перехода С матрица А билинейной формы перейдет в
а матрица линейного оператора — в
т. е. вообще говоря, эти матрицы преобразуются не одинаково. Однако если новый базис — тоже ортонормированный, то матрица перехода С ортогональна и . В этом случае матрица
билинейной формы и матрица линейного оператора преобразуются одинакова Таким образом, в евклидовом пространстве каждому билинейному функционалу соответствует вполне определенный линейный оператор (имеющий ту же матрицу в любом ортонормированном базисе).
Если — симметрический билинейный функционал, то соответствующий линейный оператор будет самосопряженным. Но матрица самосопряженного оператора в некотором ортонормированном же базисе приводится к диагональному виду с собственными значениями на главной диагонали. При этом, если
то билинейная форма а соответствующая квадратичная форма приводится к сумме квадратов:
Пример. Квадратичную форму
в евклидовом пространстве переходом к новому ортонормированному базису привести к сумме квадратов.
Решение. Характеристический многочлен матрицы А этой формы
Его корни
В новом базисе (состоящем из собственных векторов , соответствующих собственным значениям и
Легко видеть, что квадратичная форма тождественно равна скалярному произведению Выше мы назвали положительно определенным самосопряженный оператор с положительными собственными значениями. Ясно, что для того чтобы самосопряженный оператор был положительно определенным, необходимо и достаточно, чтобы была положительно
определенной соответствующая квадратичная форма т. е. чтобы при всех выполнялось неравенство
Методами математического анализа можно показать, что наименьшее из собственных значений самосопряженного оператора равно минимуму, а наибольшее — максимуму квадратичной формы на «единичной сфере» (Для того чтобы доказать это, надо найти экстремумы функции при условии, - что )