§ 5. Билинейные и квадратичные формы в евклидовом пространстве

Лемма. Пусть (вещественное) евклидово пространство и — матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому, тожз ортонормированному базису Тогда С — ортогональная матрица.

Доказательство. По условию,

Рассмотрим линейный оператор с матрицей С в базисе ей Мы имеем

Но оператор переводящий хотя бы один ортонормированный базис в ортонормированный же, — ортогональный (см. § 4 главы V). Следовательно, С — ортогональная матрица.

Пусть теперь в евклидовом пространстве выбран ортонормиррванный базис и пусть дан билинейный функционал который в этом базисе представляется билинейной формой

где Рассмотрим линейный оператор с той матрицей А в том же базисе При переходе к новому оазису с матрицей перехода С матрица А билинейной формы перейдет в

а матрица линейного оператора — в

т. е. вообще говоря, эти матрицы преобразуются не одинаково. Однако если новый базис — тоже ортонормированный, то матрица перехода С ортогональна и . В этом случае матрица

билинейной формы и матрица линейного оператора преобразуются одинакова Таким образом, в евклидовом пространстве каждому билинейному функционалу соответствует вполне определенный линейный оператор (имеющий ту же матрицу в любом ортонормированном базисе).

Если — симметрический билинейный функционал, то соответствующий линейный оператор будет самосопряженным. Но матрица самосопряженного оператора в некотором ортонормированном же базисе приводится к диагональному виду с собственными значениями на главной диагонали. При этом, если

то билинейная форма а соответствующая квадратичная форма приводится к сумме квадратов:

Пример. Квадратичную форму

в евклидовом пространстве переходом к новому ортонормированному базису привести к сумме квадратов.

Решение. Характеристический многочлен матрицы А этой формы

Его корни

В новом базисе (состоящем из собственных векторов , соответствующих собственным значениям и

Легко видеть, что квадратичная форма тождественно равна скалярному произведению Выше мы назвали положительно определенным самосопряженный оператор с положительными собственными значениями. Ясно, что для того чтобы самосопряженный оператор был положительно определенным, необходимо и достаточно, чтобы была положительно

определенной соответствующая квадратичная форма т. е. чтобы при всех выполнялось неравенство

Методами математического анализа можно показать, что наименьшее из собственных значений самосопряженного оператора равно минимуму, а наибольшее — максимуму квадратичной формы на «единичной сфере» (Для того чтобы доказать это, надо найти экстремумы функции при условии, - что )