§ 2. Перестановки и транспозиции. Определитель n-го порядка

Пусть даны элементов (например, это могут быть числа Как известно, всевозможные расположения этих элементов называются перестановками из элементов. Всего из элементов можно составить перестановок (докажите это),

Если какая-нибудь пара элементов перестановки расположена в ней так, что элемент с большим номером стоит раньше элемента с меньшим номером, то говорят, что эти элементы образуют инверсию. Пусть нам надо сосчитать число инверсий в какой-то перестановке, образованной числами (это могут быть номера элементов ). Сделать это можно следующим образом. Сосчитаем сначала число элементов, стоящих впереди единицы — все эти элементы и только они образуют инверсии с единицей. Вычеркнем затем единицу и сосчитаем число элементов, стоящих впереди двойки — это будут все те элементы, которые образуют инверсии с двойкой (не считая уже вычеркнутой единицы, которая тоже может образовывать инверсию с двойкой, но в таком случае эту инверсию мы уже учли раньше). Затем вычеркнем двойку и сосчитаем число элементов, стоящих впереди тройки, и т. д. Все полученные числа сложим — эта сумма и будет равна общему числу инверсий. Число инверсий в перестановке обозначается так: Напрщер,

Перестановки с четным числом инверсий называются четными, перестановки с нечетным числом инверсий — нечетными перестановками.

Пусть дана перестановка из элементов Поменяем местами два ее элемента при этом мы получим перестановку

Такая операция перемещения двух элементов перестановки называется транспозицией.

Теорема 1. От одной транспозиции четность перестановки меняется (т. е. четная перестановка становится нечетной, а нечетная — четной).

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда меняются местами два соседних элемента а и перестановки

После транспозиции элементов получим перестановку

Так как перестановки (10) и (11) отличаются друг от друга только взаимным расположением элементов а и Р (а взаимное расположение каждого из этих элементов и какого-то другого, так же как и взаимное расположение любых двух из остальных элементов, остались прежними), то число инверсий в перестановке (11) на единицу больше или на единицу меньше числа инверсий в перестановке (10), и значит, одна из этих перестановок четная, а другая — нечетная.

Рассмотрим теперь общий случай. Пусть меняются местами элементы перестановки

между которыми стоят еще элементов

Мы можем выполнить транспозицию элементов посредством нескольких транспозиций рядом стоящих элементов: поменяем местами а сначала с затем с наконец, с (при этом мы сделаем транспозиций рядом стоящих элементов); затем поменяем местами (еще одна транспозиция) и, наконец, поменяем местами последовательно с до (еще к транспозиций рядом стоящих элементов). В конечном счете станет на место а (и наоборот). При каждой такой транспозиции четность перестановки, как мы уже видели, меняется. А так как она изменится т. е. нечетное чирла раз, то окончательно нечетная перестановка сделается четной, а четная — нечетной, что и требовалось доказать.

Следствие. Число нечетных перестановок из влементов равно числу четных перестановок (и равно, следовательно,

Доказательство. Пусть из перестановок из элементов перестановок четны и нечетны. Сделаем в каждой четной перестановке одну и ту же транспозицию, например, поменяем местами первые два элемента. Тогда каждая четная перестановка превратится в нечетную, причем ясно, что все полученных при этом нечетных перестановок будут разными. А так как общее число нечетных перестановок из элементов, по предположению, равно то Точно так же можно убедиться в том, что, наоборот, Следовательно,

Дадим теперь общее определение определителя порядка. Пусть имеется квадратная таблица, состоящая из строк и столбцов (матрица -го порядка);

Числа называются ее элементами, горизонтальные ряды элементов матрицы называются ее строками, вертикальными — столбцами Определителем, составленным из этой матрицы (определителем порядка), называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строш матрицы А. Если в каждом таком произведении (члене определителя) множители расположены в порядке следования столбцов, то со знаком плюс берутся те произведения, у которых перестановка первых индексов четная, а со знаком минус — те, у которых она нечетная. Короче:

где суммирование распространяется на всевозможные перестановки из чисел Так как число перестановок из элементов равно то определитель порядка состоит из членов. Ввиду следствия из теоремы 1 ровно половина из них, т. е. входит в определитель со знаком плюс и столько же — со знаком минус.