Главная > Линейная алгебра и некоторые ее приложения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. Перестановки и транспозиции. Определитель n-го порядка

Пусть даны элементов (например, это могут быть числа Как известно, всевозможные расположения этих элементов называются перестановками из элементов. Всего из элементов можно составить перестановок (докажите это),

Если какая-нибудь пара элементов перестановки расположена в ней так, что элемент с большим номером стоит раньше элемента с меньшим номером, то говорят, что эти элементы образуют инверсию. Пусть нам надо сосчитать число инверсий в какой-то перестановке, образованной числами (это могут быть номера элементов ). Сделать это можно следующим образом. Сосчитаем сначала число элементов, стоящих впереди единицы — все эти элементы и только они образуют инверсии с единицей. Вычеркнем затем единицу и сосчитаем число элементов, стоящих впереди двойки — это будут все те элементы, которые образуют инверсии с двойкой (не считая уже вычеркнутой единицы, которая тоже может образовывать инверсию с двойкой, но в таком случае эту инверсию мы уже учли раньше). Затем вычеркнем двойку и сосчитаем число элементов, стоящих впереди тройки, и т. д. Все полученные числа сложим — эта сумма и будет равна общему числу инверсий. Число инверсий в перестановке обозначается так: Напрщер,

Перестановки с четным числом инверсий называются четными, перестановки с нечетным числом инверсий — нечетными перестановками.

Пусть дана перестановка из элементов Поменяем местами два ее элемента при этом мы получим перестановку

Такая операция перемещения двух элементов перестановки называется транспозицией.

Теорема 1. От одной транспозиции четность перестановки меняется (т. е. четная перестановка становится нечетной, а нечетная — четной).

Доказательство. Рассмотрим сначала случай, когда меняются местами два соседних элемента а и перестановки

После транспозиции элементов получим перестановку

Так как перестановки (10) и (11) отличаются друг от друга только взаимным расположением элементов а и Р (а взаимное расположение каждого из этих элементов и какого-то другого, так же как и взаимное расположение любых двух из остальных элементов, остались прежними), то число инверсий в перестановке (11) на единицу больше или на единицу меньше числа инверсий в перестановке (10), и значит, одна из этих перестановок четная, а другая — нечетная.

Рассмотрим теперь общий случай. Пусть меняются местами элементы перестановки

между которыми стоят еще элементов

Мы можем выполнить транспозицию элементов посредством нескольких транспозиций рядом стоящих элементов: поменяем местами а сначала с затем с наконец, с (при этом мы сделаем транспозиций рядом стоящих элементов); затем поменяем местами (еще одна транспозиция) и, наконец, поменяем местами последовательно с до (еще к транспозиций рядом стоящих элементов). В конечном счете станет на место а (и наоборот). При каждой такой транспозиции четность перестановки, как мы уже видели, меняется. А так как она изменится т. е. нечетное чирла раз, то окончательно нечетная перестановка сделается четной, а четная — нечетной, что и требовалось доказать.

Следствие. Число нечетных перестановок из влементов равно числу четных перестановок (и равно, следовательно,

Доказательство. Пусть из перестановок из элементов перестановок четны и нечетны. Сделаем в каждой четной перестановке одну и ту же транспозицию, например, поменяем местами первые два элемента. Тогда каждая четная перестановка превратится в нечетную, причем ясно, что все полученных при этом нечетных перестановок будут разными. А так как общее число нечетных перестановок из элементов, по предположению, равно то Точно так же можно убедиться в том, что, наоборот, Следовательно,

Дадим теперь общее определение определителя порядка. Пусть имеется квадратная таблица, состоящая из строк и столбцов (матрица -го порядка);

Числа называются ее элементами, горизонтальные ряды элементов матрицы называются ее строками, вертикальными — столбцами Определителем, составленным из этой матрицы (определителем порядка), называется алгебраическая сумма всевозможных произведений элементов, взятых по одному из каждого столбца и каждой строш матрицы А. Если в каждом таком произведении (члене определителя) множители расположены в порядке следования столбцов, то со знаком плюс берутся те произведения, у которых перестановка первых индексов четная, а со знаком минус — те, у которых она нечетная. Короче:

где суммирование распространяется на всевозможные перестановки из чисел Так как число перестановок из элементов равно то определитель порядка состоит из членов. Ввиду следствия из теоремы 1 ровно половина из них, т. е. входит в определитель со знаком плюс и столько же — со знаком минус.

1
Оглавление
email@scask.ru