ГЛАВА VI. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Результаты первых пяти параграфов этой главы относятся к вещественному пространству. В последнем, шестом, параграфе они обобщаются на комплексный случай.

§ 1. Билинейный функционал. Билинейная и квадратичная формы

Определение 1. Заданная в (вещественном) векторном пространстве функция двух переменных относящая каждой паре векторов число называется билинейной функцией, или билинейным функционалом, если

где — произвольные векторы из — любое (вещественное) число.

Таким образом, есть линейный функционал по х при фиксированном у и линейный функционал по у при фиксированном

Примером билинейного функционала может служить скалярное произведение векторов (вещественного) евклидова пространства.

Найдем выражение билинейного функционала в координатах. Пусть в пространстве задан базис ей и пусть

Тогда

где коэффициенты зависят от базиса и не зависят от х и у. Таким образом, в заданном базисе билинейный фунщцонал представляется билинейной формой, т. е. выражением вида

Матрица называется матрицей этой билинейной формы. В частности, скалярное произведение представляется билинейной формой

Билинейную форму можно рассматривать как матричное произведение

где столбец (и значит, транспонированная к X матрица X строка) из координат вектора — столбец из координат вектрра у и матрица билинейной формы.

Найдем, как изменяется матрица билинейной формы при переходе к новому базису. Пусть в базисе

и пусть — новый базис, в котором

Положим и обозначим через матрицу перехода от старого базиса к новому;

тогда

Обозначив через получим

Матрица является транспонированной к матрице Далее, так как есть элемент, стоящий в -строке столбце, матрицы то

— это элемент, стоящий в строке и столбце мат рицы Таким образом,

Заметим, что так как матрица перехода С (а значит, и С) является невырожденной (т. е. имеет ранг ), то ранг матрицы В равен рангу матрицы А (см. § 6 главы III). Таким образом, ранг матрицы билинейной формы не зависит от выбора базиса и может быть назван поэтомурангом самой билинейной формы (билинейного функционала).

Приведем еще другой вывод формулы (1). В обозначениях § 3 главы III имеем Далее, из равенства (§ 2 главы V) для матриц вытекает равенство — оно справедливо, впрочем, не только для квадратных матриц, и, значит, Следовательно,

Но ноановнов и. значит, (легко видеть, что из равенства справедливого для любей строки X и любого столбца У, вытекает, что

Билинейный функционал называется симметрическим, если для всех х и у из

В этом случае т. е. матрица соответствующей билинейной формы (в любом базисе) будет симметрической; обратно, если матрица билинейной формы (в каком-то базисе) — симметрическая, то и соответствующий билинейный функционал будет симметрическим (почему?). Примером симметрического билинейного функционала может служить скалярное произведение векторов пространства со скалярным произведением. Последний пример является вполне общим, так как и, обратно, каждый симметрический билинейный функционал удовлетворяет, очевидно, условиям 1—3 из § 1 главы IV и, значит, может быть принят за скалярное произведение.

Если в симметрической билинейной форме положить то получится квадратичная форма При этом матрица А квадратичной формы — это, по определению, симметрическая матрица А отвечающей билинейной формы Заметим, что по квадратичной форме породившая ее симметрическая билинейная форма определяется однозначно. Действительно, пусть при всех х и у. Тогда

откуда

Билинейная функция называется кососимметрической, если

при всех . В заданном базисе кососимметрическая функции представляется кососимметрической формой

в частности, при всех Так, в трехмерном пространстве кососимметрическая форма имеет вид

Пусть — произвольный билинейный функционал. Тогда является, очевидно, симметрическим, а — кососимметрическим функционалами. Но

следовательно, каждый билинейный функционал может быть представлен в виде суммы симметрического и кососимметрического функционалов.