Главная > Линейная алгебра и некоторые ее приложения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

ГЛАВА VI. БИЛИНЕЙНЫЕ И КВАДРАТИЧНЫЕ ФОРМЫ

Результаты первых пяти параграфов этой главы относятся к вещественному пространству. В последнем, шестом, параграфе они обобщаются на комплексный случай.

§ 1. Билинейный функционал. Билинейная и квадратичная формы

Определение 1. Заданная в (вещественном) векторном пространстве функция двух переменных относящая каждой паре векторов число называется билинейной функцией, или билинейным функционалом, если

где — произвольные векторы из — любое (вещественное) число.

Таким образом, есть линейный функционал по х при фиксированном у и линейный функционал по у при фиксированном

Примером билинейного функционала может служить скалярное произведение векторов (вещественного) евклидова пространства.

Найдем выражение билинейного функционала в координатах. Пусть в пространстве задан базис ей и пусть

Тогда

где коэффициенты зависят от базиса и не зависят от х и у. Таким образом, в заданном базисе билинейный фунщцонал представляется билинейной формой, т. е. выражением вида

Матрица называется матрицей этой билинейной формы. В частности, скалярное произведение представляется билинейной формой

Билинейную форму можно рассматривать как матричное произведение

где столбец (и значит, транспонированная к X матрица X строка) из координат вектора — столбец из координат вектрра у и матрица билинейной формы.

Найдем, как изменяется матрица билинейной формы при переходе к новому базису. Пусть в базисе

и пусть — новый базис, в котором

Положим и обозначим через матрицу перехода от старого базиса к новому;

тогда

Обозначив через получим

Матрица является транспонированной к матрице Далее, так как есть элемент, стоящий в -строке столбце, матрицы то

— это элемент, стоящий в строке и столбце мат рицы Таким образом,

Заметим, что так как матрица перехода С (а значит, и С) является невырожденной (т. е. имеет ранг ), то ранг матрицы В равен рангу матрицы А (см. § 6 главы III). Таким образом, ранг матрицы билинейной формы не зависит от выбора базиса и может быть назван поэтомурангом самой билинейной формы (билинейного функционала).

Приведем еще другой вывод формулы (1). В обозначениях § 3 главы III имеем Далее, из равенства (§ 2 главы V) для матриц вытекает равенство — оно справедливо, впрочем, не только для квадратных матриц, и, значит, Следовательно,

Но ноановнов и. значит, (легко видеть, что из равенства справедливого для любей строки X и любого столбца У, вытекает, что

Билинейный функционал называется симметрическим, если для всех х и у из

В этом случае т. е. матрица соответствующей билинейной формы (в любом базисе) будет симметрической; обратно, если матрица билинейной формы (в каком-то базисе) — симметрическая, то и соответствующий билинейный функционал будет симметрическим (почему?). Примером симметрического билинейного функционала может служить скалярное произведение векторов пространства со скалярным произведением. Последний пример является вполне общим, так как и, обратно, каждый симметрический билинейный функционал удовлетворяет, очевидно, условиям 1—3 из § 1 главы IV и, значит, может быть принят за скалярное произведение.

Если в симметрической билинейной форме положить то получится квадратичная форма При этом матрица А квадратичной формы — это, по определению, симметрическая матрица А отвечающей билинейной формы Заметим, что по квадратичной форме породившая ее симметрическая билинейная форма определяется однозначно. Действительно, пусть при всех х и у. Тогда

откуда

Билинейная функция называется кососимметрической, если

при всех . В заданном базисе кососимметрическая функции представляется кососимметрической формой

в частности, при всех Так, в трехмерном пространстве кососимметрическая форма имеет вид

Пусть — произвольный билинейный функционал. Тогда является, очевидно, симметрическим, а — кососимметрическим функционалами. Но

следовательно, каждый билинейный функционал может быть представлен в виде суммы симметрического и кососимметрического функционалов.

1
Оглавление
email@scask.ru