§ 4. Изоморфизм групп
В симметрической группе третьей степени 53 имеются три подгруппы второго порядка: 
с таблицами Кэли:
Если рассматривать их независимо от группы 5, они отличаются друг от друга только обозначениями элементов. В группе 
имеется еще подгруппа А третьего
порядка 
с таблицей Кэли:
Сравним ее с группой вращений правильного треугольника:
Эти группы тоже отличаются только обозначениями элементов. Такие группы называются изоморфными; их можно считать одинаковыми, поскольку с точки зрения их «групповых» свойств (т. е. тех свойств, которые единственно изучаются в теории-групп) они не различаются между собой.
Дадим теперь определение изоморфизма групп.
Определение 3. Группы 
называются изоморфными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющее групповую операцию, т. е. такое, что если
то
Соответствие можно рассматривать как такое (взаимно однозначное) отображение 
(скажем, мультипликативной) группы 
на (например, мультипликативную же) группу 
что для всех 
Заметим, что если 
— изоморфное отображение группы G, на группу 
то 
, где 
- единица группы 
для каждого 
Действительно, пусть 
произвольный элемент группы 
— такой элемент группы 
что 
Тогда
и
а значит, 
— единица группы 
(ср. стр. 72). Далее,
и
и значит,
Легко проверить, что все группы второго порядка (а также все группы третьего порядка) между собой изоморфны. Но для порядка четыре существуют уже две неизоморфные между собой группы: группа вращений квадрата 
и группа симметрии ромба V.
Выше мы назвали циклической группой группу, образованную степенями одного из своих элементов. Можно сказать, что циклическая группа порядка 
— это группа, изоморфная группе вращений правильного 
-угольника (легко видеть, что все циклические группы одного и того же порядка изоморфны между собой!), а бесконечная циклическая группа — это группа, изоморфная аддитивной группе целых чисел.
Заметим еще, что операции в изоморфных группах могут обозначаться по-разному. Так, мультипликативная группа положительных чисел изоморфна аддитивной
группе вещественных чисел. Изоморфное соответствие между ними устанавливается отображением
где 
— произвольно выбранное фиксированное положительное число.
