§ 4. Тензоры в евклидовом пространстве

Пусть теперь -мерное евклидово пространство. Конечно, все, что говорилось о тензорах в произвольном векторном пространстве, распространяется и на этот случай. Но тензоры в евклидовом пространстве обладают еще и некоторыми специфическими свойствами.

В евклидовом пространстве для любых двух векторов определено их скалярное произведение являющееся симметрическим билинейным функционалом В заданном базисе оно представляется

симметрической билинейной формой

где Взятые во всех системах координат величины образуют, как мы видели в § 1, дважды ковариантный тензор, который называется (ковариантным) метрическим тензором пространства Свертка метрического тензора с вектором

является одновалентным ковариантным тензором. Числа также определяют вектор х, т. е. в некотором: смысле тоже являются его координатами; их можно назвать ковариантными координатами вектора х, в отличие от его контравариантных координат Выясним геометрический смысл ковариантных координат. Так как

то ковариантные координаты — это проекции вектора х на базисные векторы. (Напомним, что контравариантные координаты вектора х — это коэффициенты его разложения

по базису

В ортонормированном базисе

и значит, , т.е. ко- и контравариантные координаты вектора совпадают.

Двойная - свертка метрического тензора с векторами это скалярное произведение ); двойная свертка его с вектором х — скалярный квадрат вектора

Определитель матрицы отличен от нуля. Действительно, при переходе к новому базису ранг матрицы билинейной формы, в том числе и матрицы не меняется. Но в ортонормированном базисе матрица — единичная, и ее определитель равен 1;

следовательно, и во всех других базисах определитель матрицы отличен от нуля.

Пусть -матрица, обратная матрице в каком-то фиксированном базисе Тогда при всех Построим дважды контравариантный тензор, координаты которого в базисе ей равны тогда координаты этого тензора во всех остальных базисах определятся по формуле (9). В каждом новом базисе ввиду тензорного характера операций умножения и свертывания, будем иметь

и значит, координаты тензора во всех системах координат образуют матрицу, обратную матрице Тензор называется контравариантным метрическим тензором.

Переход от контравариантных координат вектора к крвариантным его координатам по формуле (16) можно назвать опусканием индекса. Чтобы поднять индекс, т. е. перейти от коъариантных координат вектора к его контравариантным координатам, умножим обе части равенства (16) на (и, конечно, просуммируем по ); мы получим

Операцию опускания или поднятия индекса в евклидовом пространстве (эта операция носит выразительное название жонглирования индексами) можно применить К тензору любого строения. Пусть дан, например, трехвалентный тензор один раз ковариантный и два раза контравариантный. Свертка его с метрическим тензором

будет дважды ковариантным и один раз контравариантным тензором. Свертка

— трижды ковариантным, а наоборот, свертка

- трижды контравариантным тензором. Если оба

базиса ортонормированные, то

и равенства (17) — (19) последовательно дают Таким образом,

В этом случае ко- и контравариантные индексы при переходе к новому базису ведут себя одинаковб, и закон преобразования тензора определяется исключительно его валентностью

Последнее можно объяснить, еще и следующие образом. Если оба базиса ей ортонормярованные, то матрица перехода С от первого базиса ко второму ортогональна, Но тогда в формуле (9) для преобразования, например, тензора можно заменить рдно или оба на с, или, наоборот, с заменить на Так, заменяя на получим

Здесь пришлось использовать знак суммы так как индекс по которому происходит суммирование, оба раза стоит наверху. Полагая получим для закон преобразования в виде

т. е. тензор является дважды кбвариантным и один раз контравариантным. Но его координаты в обоих базисах равны соответствующим координатам тензора а один раз ковариантного и дважды контравариантного.

Так, выше (§ 5 главы VI) мы уже видели, что при переходе от одного ортонормированного базиса к другому, тоже ортонормированному, матрица билинейной формы (дважды ковариантный тензор) и матрица линейного преобразования (один раз ковариантный и один раз контравариантный тензор) преобразуются одинаково.