Главная > Линейная алгебра и некоторые ее приложения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. Полуевклидова плоскость

Пусть — двумерное векторное пространство с полуевклидовой метрикой и ей — такой его базис, в котором скалярный квадрат произвольного вектора равен Тогда, в частности,

и

откуда

(вектор - нулевой длины, вектор единичный, ортогональны). Такой базис условимся называть каноническим.

Пусть — произвольные векторы из тогда их скалярное произведение равно

а модуль вектора х равен

Предположим, что — другой, тоже канонический базис в пространстве и

матрица перехода от первого базиса ко второму, т. е. что

Тогда

откуда и

т.е. . Таким образом, матрица перехода от одного канонического базиса к другому имеет вид

Зафиксируем теперь какой-то канонический базис и угол между векторами по определению, положим равным

Так определенный угол, вообще говоря, не инвариантен относительно перехода к новому (даже каноническому) базису. Посмотрим, какие еще ограничения надо наложить на матрицу перехода для того, чтобы

угол (2) не зависел от системы (канонических) координат. При переходе к новому (каноническому) базису с матрицей перехода (1) координаты векторов, х и у соответственно преобразуются в

и

причем знаки одинаковы. Тогда угол между векторами в новом базисе в силу определения (2) должен быть рарен

он будет иметь прежнее значение в том и только а том случае, если Поэтому, зафиксировав один какой-то канонический базис, мы дальше будем допускать только такие базисы матрицы, перехода к которым от базиса имеют вид

(мы положили ).

Легко видеть, что если матрица перехода от базиса к базису имеет вид (3) и матрица перехода от базиса к базису — тоже вида (3), то и матрица перехода от базиса к базису будет такого же вида.

Обозначим через матрицу

Тогда, очевидно,

Рассмотрим теперь двумерное точечно-векторное пространство, в котором расстояние между точками считается равным модулю

вектора в полуевклидовой метрике, т. е. равным

Если представить точки полуевклидовой плоскости точками обычной (евклидовой) плоскости с теми же координатами, то - это евклидова длина проекции вектора на ось ординат. (В частности, длина любого отрезка, параллельного будет равна нулю.) Две точки, расстояние между которыми равно нулю, назовем параллельными, подобно тому как в евклидовой геометрии параллельными называются прямые, угол между которыми равен нулю; тогда параллельные точки — это точки, принадлежащие одной прямой, параллельной вектору

Рис. 17.

Окружность радиуса с центром в данной точке т. е. совокупность всех точек, отстоящих от точки М на одно и то же полуевклидово расстояние это пара прямых, параллельных оси абсцисс и отстоящих от данной точки М на (евклидово) расстояние (рис. 17, а). Центром такой окружности будет также любая точка прямой, проходящей через М и параллельной тем же прямым. Уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид

В частности, уравнение «единичной окружности» (окружности радиуса единица) с центром в начале координат имеет вид

Углом между прямыми называется угол между параллельными им векторами. Если два вектора единичной длины, то угол между ними равен

он измеряется той «дугой», которую эти векторы высекают на «единичной окружности» (рис. 17, б). Заметим, что в полуевклидовой метрике смежные углы равны между собой. Действительно, угол между (единичными) векторами равен смежный угол — между векторами равен

Приведем несколько примеров теорем «элементарной полуевклидовой геометрии». Будем называть треугольником фигуру, образованную тремя точками, никакие две из которых не параллельны.

Теорёма 1. Большая сторона треугольника равна сумме двух других его сторон.

Действительно, так как (рис. 18, а) и то или

Эту теорему можно считать аналогом теоремы косинусов в евклидовой геометрии.

Теорема 2. Больший угол треугольника равен сумме двух других его углов.

Для доказательства проведем прямую (см. рис. 18, б). Тогда, очевидно, Но , значит,

Теорема 3. Стороны треугольника пропорциональны противолежащим углам.

Для доказательства проведем (см. рис. 18, в). Тогда (где CD равно модулю разности абсцисс точек D и С — евклидовой длине отрезка значит, , откуда

(Эту теорему можно считать аналогом теоремы синусов евклидовой геометрии.)

Из трех последних теорем видна определенная «двойственность» теорем полуевклидовой плоскости, выражающаяся в равноправии сторон и углов треугольника. Если в формулировках этих теорем заменить слово «сторона» словом «угол», и наоборот, то, из теоремы 1 получится теорема 2, а из теоремы 2 — теорема 1; они двойственны друг другу. Теорема 3 двойственна сама себе.

Рис. 18.

Такой двойственности нет на обычной, евклидовой плоскости, на которой имеются параллельные прямые (угол между которыми равен нулю), но нет «параллельных точек (расстояние между которыми равно нулю). Эта «несправедливость» устранен в полуевклидовой геометрии, где, наряду с параллельными прямыми, имеются и «параллельные точки».

Задачи. Докажите, что в полуевклидовой плоскости

(см. скан)

(см. скан)

1
Оглавление
email@scask.ru