Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 2. Полуевклидова плоскостьПусть
и
откуда
(вектор Пусть
а модуль вектора х равен
Предположим, что
— матрица перехода от первого базиса ко второму, т. е. что
Тогда
откуда
т.е.
Зафиксируем теперь какой-то канонический базис
Так определенный угол, вообще говоря, не инвариантен относительно перехода к новому (даже каноническому) базису. Посмотрим, какие еще ограничения надо наложить на матрицу перехода для того, чтобы угол (2) не зависел от системы (канонических) координат. При переходе к новому (каноническому) базису с матрицей перехода (1) координаты векторов, х и у соответственно преобразуются в
и
причем знаки
он будет иметь прежнее значение в том и только а том случае, если
(мы положили Легко видеть, что если матрица перехода от базиса Обозначим через
Тогда, очевидно,
Рассмотрим теперь двумерное точечно-векторное пространство, в котором расстояние между точками вектора
Если представить точки полуевклидовой плоскости точками обычной (евклидовой) плоскости с теми же координатами, то
Рис. 17. Окружность радиуса
В частности, уравнение «единичной окружности» (окружности радиуса единица) с центром в начале координат имеет вид
Углом между прямыми называется угол между параллельными им векторами. Если
он измеряется той «дугой», которую эти векторы высекают на «единичной окружности» (рис. 17, б). Заметим, что в полуевклидовой метрике смежные углы равны между собой. Действительно, угол между (единичными) векторами
Приведем несколько примеров теорем «элементарной полуевклидовой геометрии». Будем называть треугольником фигуру, образованную тремя точками, никакие две из которых не параллельны. Теорёма 1. Большая сторона треугольника равна сумме двух других его сторон. Действительно, так как
Эту теорему можно считать аналогом теоремы косинусов в евклидовой геометрии. Теорема 2. Больший угол треугольника равен сумме двух других его углов. Для доказательства проведем прямую
Теорема 3. Стороны треугольника пропорциональны противолежащим углам. Для доказательства проведем
(Эту теорему можно считать аналогом теоремы синусов евклидовой геометрии.) Из трех последних теорем видна определенная «двойственность» теорем полуевклидовой плоскости, выражающаяся в равноправии сторон и углов треугольника. Если в формулировках этих теорем заменить слово «сторона» словом «угол», и наоборот, то, из теоремы 1 получится теорема 2, а из теоремы 2 — теорема 1; они двойственны друг другу. Теорема 3 двойственна сама себе.
Рис. 18. Такой двойственности нет на обычной, евклидовой плоскости, на которой имеются параллельные прямые (угол между которыми равен нулю), но нет «параллельных точек (расстояние между которыми равно нулю). Эта «несправедливость» устранен в полуевклидовой геометрии, где, наряду с параллельными прямыми, имеются и «параллельные точки». Задачи. Докажите, что в полуевклидовой плоскости (см. скан) (см. скан)
|
1 |
Оглавление
|