§ 2. Полуевклидова плоскость

Пусть — двумерное векторное пространство с полуевклидовой метрикой и ей — такой его базис, в котором скалярный квадрат произвольного вектора равен Тогда, в частности,

и

откуда

(вектор - нулевой длины, вектор единичный, ортогональны). Такой базис условимся называть каноническим.

Пусть — произвольные векторы из тогда их скалярное произведение равно

а модуль вектора х равен

Предположим, что — другой, тоже канонический базис в пространстве и

— матрица перехода от первого базиса ко второму, т. е. что

Тогда

откуда и

т.е. . Таким образом, матрица перехода от одного канонического базиса к другому имеет вид

Зафиксируем теперь какой-то канонический базис и угол между векторами по определению, положим равным

Так определенный угол, вообще говоря, не инвариантен относительно перехода к новому (даже каноническому) базису. Посмотрим, какие еще ограничения надо наложить на матрицу перехода для того, чтобы

угол (2) не зависел от системы (канонических) координат. При переходе к новому (каноническому) базису с матрицей перехода (1) координаты векторов, х и у соответственно преобразуются в

и

причем знаки одинаковы. Тогда угол между векторами в новом базисе в силу определения (2) должен быть рарен

он будет иметь прежнее значение в том и только а том случае, если Поэтому, зафиксировав один какой-то канонический базис, мы дальше будем допускать только такие базисы матрицы, перехода к которым от базиса имеют вид

(мы положили ).

Легко видеть, что если матрица перехода от базиса к базису имеет вид (3) и матрица перехода от базиса к базису — тоже вида (3), то и матрица перехода от базиса к базису будет такого же вида.

Обозначим через матрицу

Тогда, очевидно,

Рассмотрим теперь двумерное точечно-векторное пространство, в котором расстояние между точками считается равным модулю

вектора в полуевклидовой метрике, т. е. равным

Если представить точки полуевклидовой плоскости точками обычной (евклидовой) плоскости с теми же координатами, то - это евклидова длина проекции вектора на ось ординат. (В частности, длина любого отрезка, параллельного будет равна нулю.) Две точки, расстояние между которыми равно нулю, назовем параллельными, подобно тому как в евклидовой геометрии параллельными называются прямые, угол между которыми равен нулю; тогда параллельные точки — это точки, принадлежащие одной прямой, параллельной вектору

Рис. 17.

Окружность радиуса с центром в данной точке т. е. совокупность всех точек, отстоящих от точки М на одно и то же полуевклидово расстояние это пара прямых, параллельных оси абсцисс и отстоящих от данной точки М на (евклидово) расстояние (рис. 17, а). Центром такой окружности будет также любая точка прямой, проходящей через М и параллельной тем же прямым. Уравнение окружности радиуса с центром в точке имеет вид

В частности, уравнение «единичной окружности» (окружности радиуса единица) с центром в начале координат имеет вид

Углом между прямыми называется угол между параллельными им векторами. Если два вектора единичной длины, то угол между ними равен

он измеряется той «дугой», которую эти векторы высекают на «единичной окружности» (рис. 17, б). Заметим, что в полуевклидовой метрике смежные углы равны между собой. Действительно, угол между (единичными) векторами равен смежный угол — между векторами равен

Приведем несколько примеров теорем «элементарной полуевклидовой геометрии». Будем называть треугольником фигуру, образованную тремя точками, никакие две из которых не параллельны.

Теорёма 1. Большая сторона треугольника равна сумме двух других его сторон.

Действительно, так как (рис. 18, а) и то или

Эту теорему можно считать аналогом теоремы косинусов в евклидовой геометрии.

Теорема 2. Больший угол треугольника равен сумме двух других его углов.

Для доказательства проведем прямую (см. рис. 18, б). Тогда, очевидно, Но , значит,

Теорема 3. Стороны треугольника пропорциональны противолежащим углам.

Для доказательства проведем (см. рис. 18, в). Тогда (где CD равно модулю разности абсцисс точек D и С — евклидовой длине отрезка значит, , откуда

(Эту теорему можно считать аналогом теоремы синусов евклидовой геометрии.)

Из трех последних теорем видна определенная «двойственность» теорем полуевклидовой плоскости, выражающаяся в равноправии сторон и углов треугольника. Если в формулировках этих теорем заменить слово «сторона» словом «угол», и наоборот, то, из теоремы 1 получится теорема 2, а из теоремы 2 — теорема 1; они двойственны друг другу. Теорема 3 двойственна сама себе.

Рис. 18.

Такой двойственности нет на обычной, евклидовой плоскости, на которой имеются параллельные прямые (угол между которыми равен нулю), но нет «параллельных точек (расстояние между которыми равно нулю). Эта «несправедливость» устранен в полуевклидовой геометрии, где, наряду с параллельными прямыми, имеются и «параллельные точки».

Задачи. Докажите, что в полуевклидовой плоскости

(см. скан)

(см. скан)