Пред.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120 121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180 181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 198 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240 241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300 301 302 303 304 305 306 307 308 309 310 311 312 313 314 315 316 317 318 319 320 321 322 323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
ГЛАВА X. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП§ 1. Примеры групп. Определение группыРассмотрим множество всех целых чисел. При сложении двух целых чисел получается снова целое число. Если одно из слагаемых равно (целому) числу 0, то сумма равна другому слагаемому: с Далее, если из множества всех целых чисел выделить подмножество чисел, делящихся на данное число Аналогичными свойствами обладают и множество всех рациональных чисел, множество всех вещественных чисел или всех комплексных чисел — каждое из них замкнуто относительно операции сложения; нуль явля? ется одновременно числом рациональным, вещественным и комплексным; для каждого (комплексного) числаа имеется противоположное к нему число а такое, что Рассмотрим теперь множество всех отличных от нуля вещественных чисел и «операцию умножения» в нем. Произведение любых двух таких чисел — снова отличное от нуля вещественное число; произведение любого числа а на (вещественное, отличное от нуля) число 1 равно а, и для каждого (отличного от нуля!) вещественного числа а имеется обратное ему (и тоже отлнчцое от нуля) вещественное число Аналогичными свойствами обладает и множество всех отличных от нуля рациональных чисел, множество всех положительных вещественных чисел или всех положительных рациональных чисел, а также множество всех отличных от нуля комплексных чисел или множество комплексных чисел, по модулю равных 1. Каждое из них замкнуто относительно операции умножения, все они содержат единицу и у каждого из их элементов имеется обратный элемент, принадлежащий тому же множеству. Умножение комплексных (а значит, и вещественных, и рациональных) чисел коммутативно Это — примеры «групп по умножению». Можно привести и более неожиданный пример: группу по умножению образует, например, пара чисел, Складывать можно не только числа, но, например, векторы линейного пространства Складывать можно матрицы одного и того же строения (т. е. для каждой матрицы С другой стороны, и перемножать можно не только числа, но, например, невырожденные квадратные матрицы одного и того же порядка Дадим теперь общее определение группы. Определение 1. Группой называется множество 1. Эта операция ассоциативна: для любых трех элементов
2. В G существует «нейтральный» элемент
для каждого 3. Для каждого элемента а из
Группа, в которой дополнительно выполняется коммутативный закон: 4. Для любых двух элементов
называется коммутативной, или абелевой. Группа, состоящая из конечного числа элементов, называется конечной группой. Число элементов конечной группы называется ее порядком. Группа, не являющаяся конечной, называется бесконечной. В том случае, когда «групповая операция» Пользуясь ассоциативным законом, можно определить произведение (сумму) трех и большего чйсла элементов группы. Так как Заметим, что для каждого элемента а группы
Еще одним важным примером группы может служить группа вращений правильного многоугольника. Пусть дан правильный
По определению, умножение поворотов — это их последовательное выполнение одного за другим:
при этом естественно считать, что Если положить Группа целых чисел (по сложению) тоже является циклической — она порождается одним из своих элементов: ведь Рассмотрим еще один пример — группу V оамосовмещений, или группу симметрии, ромба (она называется еще клейновской группой четвертого порядка). Пусть дан ромб
— симметрия относительно центра О. Произведение (т. е. результат последовательного выполнения одного за другим) любых двух из этих преобразований — снова одно из них. Эти преобразования образуют группу, которую можно представить следующей «таблицей умножениям
Рис. 27. (Ассоциативность этого умножения будет вытекать из результатов § 3.) Аналогичную таблицу умножения, где слева стоят левые множители тоже следует, что
|
1 |
Оглавление
|