ГЛАВА X. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ГРУПП

§ 1. Примеры групп. Определение группы

Рассмотрим множество всех целых чисел. При сложении двух целых чисел получается снова целое число. Если одно из слагаемых равно (целому) числу 0, то сумма равна другому слагаемому: с для каждого целого числа а противоположное к нему число — а (сумма которого с данным числом а равна 0) тоже является целым. Операция сложения (в частности, целых) чисел коммутативна а для любых двух чисел и ассоциативна для любых трех чисел .

Далее, если из множества всех целых чисел выделить подмножество чисел, делящихся на данное число то и оно обладает такими же свойствами. Это множество тоже «замкнуто» относительно «операции сложения» — сумма любых двух чисел, делящихся на делит, на это множество содержит 0 (нуль делится на любое число); и, наконец, если а делится на то и делится на

Аналогичными свойствами обладают и множество всех рациональных чисел, множество всех вещественных чисел или всех комплексных чисел — каждое из них замкнуто относительно операции сложения; нуль явля? ется одновременно числом рациональным, вещественным и комплексным; для каждого (комплексного) числаа имеется противоположное к нему число а такое, что причем — о при вещественном а будет вещественным, а при рациональном а — рациональным. Операция сложения в множестве комплексных чисел (а значит, и подавно, в множестве вещественных и в множестве рациональных чисел) коммутативна и ассоциативна. Все это — примеры «групп по сложению».

Рассмотрим теперь множество всех отличных от нуля вещественных чисел и «операцию умножения» в нем. Произведение любых двух таких чисел — снова отличное от нуля вещественное число; произведение любого числа а на (вещественное, отличное от нуля) число 1 равно а, и для каждого (отличного от нуля!) вещественного числа а имеется обратное ему (и тоже отлнчцое от нуля) вещественное число произведение которого на а равно

Аналогичными свойствами обладает и множество всех отличных от нуля рациональных чисел, множество всех положительных вещественных чисел или всех положительных рациональных чисел, а также множество всех отличных от нуля комплексных чисел или множество комплексных чисел, по модулю равных 1. Каждое из них замкнуто относительно операции умножения, все они содержат единицу и у каждого из их элементов имеется обратный элемент, принадлежащий тому же множеству. Умножение комплексных (а значит, и вещественных, и рациональных) чисел коммутативно для всех и ассоциативно для всех .

Это — примеры «групп по умножению». Можно привести и более неожиданный пример: группу по умножению образует, например, пара чисел, Впрочем, множество, состоящее из одного числа 1 (или 0), тоже образует группу по умножению (соответственно по сложению). Комплексные числа также образуют, очевидно, группу по умножению.

Складывать можно не только числа, но, например, векторы линейного пространства причем это сложение подчиняется тем же законам, что и сложение чисел: оно коммутативно и ассоциативно, в имеется нулевой элемент 0 такой, что для любого и для всякого вектора имеется противоположный ему вектор — х, такой, что

Складывать можно матрицы одного и того же строения (т. е. -матрицы, где и — какие-то заранее заданные целые положительные числа). Это сложение ассоциативно и коммутативно, имеется нулевая матрица, прибавление которой не меняет второго слагаемого — это матрица, состоящая из одних нулей, и

для каждой матрицы имеется противоположная к ней матрица такая, что есть нулевая матрица. Если рассматривать только так называемые целочисленные матрицы (т. е. матрицы с целыми элементами то и суммой двух таких матриц будет Матрица такого же строения, нулевая матрица является целочисленной и для каждой целочисленной матрицы, противоположной к ней, будет тоже целочисленная матрица. Все это — тоже примеры групп по сложению.

С другой стороны, и перемножать можно не только числа, но, например, невырожденные квадратные матрицы одного и того же порядка с вещественными (или только с рациональными или, наоборот, с комплексными) элементами. Произведение двух таких матрац тоже будет невырожденной матрицей (теорема. 3 главы III) с вещественными (соответственно с рациональными, комплексными) элементами; единичная матрица является невырожденной, и у каждой невырожденной матрицы имеется обратная (тоже невырожденная и тоже с вещественными или соответственно рациональными, комплексными элементами). Умножение матриц ассоциативно, однако оно не коммутативно. Множество всех невырожденных матриц порядка с вещественными (рациональными, комплексными) элементами представляет собой пример некоммутативной группы по умножению.

Дадим теперь общее определение группы.

Определение 1. Группой называется множество элементов а, b..... для которых определена некоторая алгебраическая операция (обычно называемая умножением или сложением), ставящая в соответствие каждой упорядоченной паре элементов третий элемент с причем так, что выполнена следующие условиях

1. Эта операция ассоциативна: для любых трех элементов с из

2. В G существует «нейтральный» элемент такой, что

для каждого

3. Для каждого элемента а из существует «обратный» ему элемент такой, что

Группа, в которой дополнительно выполняется коммутативный закон:

4. Для любых двух элементов

называется коммутативной, или абелевой.

Группа, состоящая из конечного числа элементов, называется конечной группой. Число элементов конечной группы называется ее порядком. Группа, не являющаяся конечной, называется бесконечной.

В том случае, когда «групповая операция» называется сложением и обозначается знаком группа называется группой по сложению, или аддитивной группой. В этом случае «нейтральный элемент» обычно обозначается символом 0 и называется нулем, а элемент, обратный к а, обозначается через а и называется противоположным к а. В том случай, когда групповая операция называется умножением, обозначается через группа называется группой по умножению, или мультипликативной группой, а нейтральный элемент называется единицей и часто обозначается символом 1.

Пользуясь ассоциативным законом, можно определить произведение (сумму) трех и большего чйсла элементов группы. Так как то имеет смысл говорить просто о произведении трех элементов, равном, по определению, Так же для линейных пространств, можно доказать единственность единичного (нулевого) элемента группы и единственность элемента, обратного (противоположного) данному.

Заметим, что для каждого элемента а группы так как вместо мы будем также писать Далее, в каждой (например, мультипликативной) группе однозначно разрешимы уравнения (решением которого, очевидно, будет (для которого

ясно, что если группа коммутативна, то эти уравнения не различаются и

Еще одним важным примером группы может служить группа вращений правильного многоугольника. Пусть дан правильный -угольник и пусть О — его центр (сделайте чертеж). Рассмотрим всевозможные повороты плоскости вокруг точки О, при которых этот -угольник совмещается сам с собой. Таких поворотов, очевидно,

По определению, умножение поворотов — это их последовательное выполнение одного за другим:

при этом естественно считать, что для любого к, в частности, Это умножение, очевидно, ассоциативно (и коммутативно). Поворот является единичным элементов группы и для всех

Если положить мы будем иметь и, наконец, Можно сказать, что эта группа образована степенями одного из своих элементов (или что «порождается» одним, из своих элементов), а именно, элемента Такие группы называются циклическими. Группа вращений правильного -угольника является циклической группой порядка обозначается эта группа символом

Группа целых чисел (по сложению) тоже является циклической — она порождается одним из своих элементов: ведь есть элемент, противоположный к 1, и т. д. Эта группа является бесконечной циклической группой; обозначается она символом

Рассмотрим еще один пример — группу V оамосовмещений, или группу симметрии, ромба (она называется еще клейновской группой четвертого порядка). Пусть дан ромб (рис. 27). Он переходит в себя при следующих преобразованиях:

— тождественное преобразование,

— симметрия. относительно АС,

— симметрия относительно

— симметрия относительно центра О.

Произведение (т. е. результат последовательного выполнения одного за другим) любых двух из этих преобразований — снова одно из них. Эти преобразования образуют группу, которую можно представить следующей «таблицей умножениям

Рис. 27.

(Ассоциативность этого умножения будет вытекать из результатов § 3.)

Аналогичную таблицу умножения, где слева стоят левые множители сверху — правые а на пересечении соответствующих строки и столбца — их произведение можно написать для каждой конечной группы. Таблицы такого рода называются таблицами Легко видеть, что в каждой строке и в каждом столбце таблицы Кэли все элементы стоят по одному разу (так как из равенства умножением слева на получаем и из равенства

тоже следует, что Ясно также, что если группа коммутативна, то ее таблица Кэли симметрична относительно главной диагонали (т. е. при всех I и элемент, стоящий в пересечении строки и столбца, равен элементу, стоящему в пересечении строки и столбца).