§ 3. Определение векторного пространства

Мы начнем с примера, хорошо известного читателю. В геометрии важную роль играет понятие вектора, или направленного отрезка. Векторы можно складывать между собой и умножать на числа.

Рис. 4.

Сумма векторов и определяется как диагональ параллелограмма (рис. 4, а; это определение можно распространить и на тот случай, когда прямые и совпадают), а произведение вектора ОА на число а определяется из условий: и векторы и направлены в одну сторону, если и в противоположные стороны, если (рис. 4, б).

Но совокупность всех плоских или всех пространственных векторов — это только примеры (хотя и очень важные примеры) векторных пространств.

В главе I мы видели, что если имеются два решения некоторой системы линейных однородных уравнений, то их сумма и произведение любого из них, например на произвольное число с (которое естественно считать принадлежащим тому же числовому полю что и коэффициенты уравнений): тоже будут решениями той же системы. Аналогичная ситуация, когда имеется множество каких-то элементов, которые можно

складывать между собой и умножать на числа, получая в результате элементы того же самого множества, встречается в математике очень часто. Так, например, складывать между собой и умножать на числа можно многочлены от с вещественными или комплексными коэффициентами — в результате получаются такие же многочлены. Если складываются и умножаются на числа многочлены, степени которых не превосходят данного числа то и полученные при этом многочлены будут степени не выше Складывать между собой и умножать на числа можно и произвольные функции от — в результате снова получаются функции от Если функции, к которым применяются эти операции, непрерывны на каком-то отрезке скажем, на всей числовой прямой), то и полученные в результате функции обладают тем же свойством.

Наконец, разумеется, и просто числа, образующие некоторое поле можно складывать между собой и умножать на числа из более того, вместо одного числа можно рассматривать пары, тройки и вообще упорядоченные наборы (строки), состоящие из чисел:

(такие строки выше служили решениями данной системы линейных уравнений, теперь же от них не требуется ничего!). Строки можно складывать:

и умножать на числа:

получая всякий раз такую же строку.

Все это — различные примеры векторных пространств (причем последний пример особенно важен для дальнейшего). Для того чтобы охватить все эти и другие возможные случаи, введем такое

Определение 1. Множество элементов называется векторным, или линейным, пространством, если для любых двух его элементов опреде

лена сумма и для каждого элемента и каждого числа а (взятого из фиксированного числового поля определено произведение причем выполнены следующие условия:

3. Существует такой (нулевой) элемент что для всех элементов

4. Для каждого элемента существует такой элемент — х (называемый противоположным к х), что

Элементы векторного пространства называются векторами.

Поле во всем дальнейшем мы будем считать либо полем вещественных, либо полем комплексных чисел и, в соответствии с этим, будем говорить о вещественном или о комплексном пространстве Иногда же, не уточняя, о каком именно поле идет речь, мы будем говорить о векторном пространстве над полем

Примеры. Можно говорить о векторном пространстве многочленов степени не выше с вещественными или комплексными коэффициентами, о векторном пространстве С функций, непрерывных на данном отрезке о векторном пространстве решений данной системы линейных однородных уравнений, наконец, просто о векторном пространстве строк, состоящих из (вещественных или комплексных) чисел.

Из определения 1 непосредственно вытекают следующие

Простейшие свойства векторного пространства.

1. Единственность нуля. Предположим, что в пространстве имеются два нулевых элемента, Тогда, Так как для любого х из имеем то, в частности, откуда, ввиду получаем

2. Единственность противоположного элемента. Предположим, что у элемента х имеются два противоположных элемента, у и тогда Следовательно, откуда

3. Для каждого элемента произведение . В самом деле, для каждого х имеем Прибавляя к левой и правой частям последнего равенства —0, получим

4. Для любого произведение Действительно, Прибавляя к левой и правой частям равенства получим ).

5. Если произведение то либо либо самом деле, пусть тогда

6. Для каждого х элемент является противоположным к Действительно, и значит,

Ввиду условия 2 определения 1, можно говорить о сумме трех (или, что то же самое, (и большего числа) элементов из

Разностью х — у векторов называется вектор