Главная > Линейная алгебра и некоторые ее приложения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 3. Определение векторного пространства

Мы начнем с примера, хорошо известного читателю. В геометрии важную роль играет понятие вектора, или направленного отрезка. Векторы можно складывать между собой и умножать на числа.

Рис. 4.

Сумма векторов и определяется как диагональ параллелограмма (рис. 4, а; это определение можно распространить и на тот случай, когда прямые и совпадают), а произведение вектора ОА на число а определяется из условий: и векторы и направлены в одну сторону, если и в противоположные стороны, если (рис. 4, б).

Но совокупность всех плоских или всех пространственных векторов — это только примеры (хотя и очень важные примеры) векторных пространств.

В главе I мы видели, что если имеются два решения некоторой системы линейных однородных уравнений, то их сумма и произведение любого из них, например на произвольное число с (которое естественно считать принадлежащим тому же числовому полю что и коэффициенты уравнений): тоже будут решениями той же системы. Аналогичная ситуация, когда имеется множество каких-то элементов, которые можно

складывать между собой и умножать на числа, получая в результате элементы того же самого множества, встречается в математике очень часто. Так, например, складывать между собой и умножать на числа можно многочлены от с вещественными или комплексными коэффициентами — в результате получаются такие же многочлены. Если складываются и умножаются на числа многочлены, степени которых не превосходят данного числа то и полученные при этом многочлены будут степени не выше Складывать между собой и умножать на числа можно и произвольные функции от — в результате снова получаются функции от Если функции, к которым применяются эти операции, непрерывны на каком-то отрезке скажем, на всей числовой прямой), то и полученные в результате функции обладают тем же свойством.

Наконец, разумеется, и просто числа, образующие некоторое поле можно складывать между собой и умножать на числа из более того, вместо одного числа можно рассматривать пары, тройки и вообще упорядоченные наборы (строки), состоящие из чисел:

(такие строки выше служили решениями данной системы линейных уравнений, теперь же от них не требуется ничего!). Строки можно складывать:

и умножать на числа:

получая всякий раз такую же строку.

Все это — различные примеры векторных пространств (причем последний пример особенно важен для дальнейшего). Для того чтобы охватить все эти и другие возможные случаи, введем такое

Определение 1. Множество элементов называется векторным, или линейным, пространством, если для любых двух его элементов опреде

лена сумма и для каждого элемента и каждого числа а (взятого из фиксированного числового поля определено произведение причем выполнены следующие условия:

3. Существует такой (нулевой) элемент что для всех элементов

4. Для каждого элемента существует такой элемент — х (называемый противоположным к х), что

Элементы векторного пространства называются векторами.

Поле во всем дальнейшем мы будем считать либо полем вещественных, либо полем комплексных чисел и, в соответствии с этим, будем говорить о вещественном или о комплексном пространстве Иногда же, не уточняя, о каком именно поле идет речь, мы будем говорить о векторном пространстве над полем

Примеры. Можно говорить о векторном пространстве многочленов степени не выше с вещественными или комплексными коэффициентами, о векторном пространстве С функций, непрерывных на данном отрезке о векторном пространстве решений данной системы линейных однородных уравнений, наконец, просто о векторном пространстве строк, состоящих из (вещественных или комплексных) чисел.

Из определения 1 непосредственно вытекают следующие

Простейшие свойства векторного пространства.

1. Единственность нуля. Предположим, что в пространстве имеются два нулевых элемента, Тогда, Так как для любого х из имеем то, в частности, откуда, ввиду получаем

2. Единственность противоположного элемента. Предположим, что у элемента х имеются два противоположных элемента, у и тогда Следовательно, откуда

3. Для каждого элемента произведение . В самом деле, для каждого х имеем Прибавляя к левой и правой частям последнего равенства —0, получим

4. Для любого произведение Действительно, Прибавляя к левой и правой частям равенства получим ).

5. Если произведение то либо либо самом деле, пусть тогда

6. Для каждого х элемент является противоположным к Действительно, и значит,

Ввиду условия 2 определения 1, можно говорить о сумме трех (или, что то же самое, (и большего числа) элементов из

Разностью х — у векторов называется вектор

1
Оглавление
email@scask.ru