Главная > Линейная алгебра и некоторые ее приложения
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 9. Пересечение и сумма лодпространств

Определение 8. Пусть в векторной пространстве имеются два подпространства Их пересечением называется множество всевозможных векторов из принадлежащих одновременно и

Легко видеть, что пересечение двух подпространств является подпространством (содержащимся и в

Определение 9. Если — подпространства линейного пространства то их суммой называется множество всех векторов вида и где и

Сумма двух подпространств является подпространством (возможно, совпадающим с Действительно, если то где и тогда где поэтому

Далее, если а то где , следовательно,

Подпространство (так же, как и ) содержится в ибо каждый элемент можно представить в виде суммы где

Теорема 5. Если подпространства векторного пространства и то

Доказательство. В подпространстве выберем какой-нибудь базис

Дополним множество (7) векторов, принадлежащих одновременно и до базиса

с одной стороны, и до базиса

— с другой (теорема 3). Покажем, что векторы

линейно независимы. Тогда, по теореме 2, они образуют базис в ибо если вектор то , где и значит, х линейно выражается через векторы (8), а у — через векторы (9). Но тогда вектор линейно выражается через векторы (10)

Допустим, что векторы (10) линейно зависимы:

Тогда вектор

равный — принадлежит одновременно и а значит, и их пересечению . Но в таком случае он должен линейно выражаться через зисные векторы (7) подпространства пусть

Отсюда, ввиду единственности разложения вектора а по базису пространства

а тогда из равенства (11) следует, что

и, ввиду линейной независимости векторов (9),

Таким образом, векторы (10) образуют базис пространства и значит, его размерность равна числу этих векторов:

Но Мы доказали, что сумма размерностей двух подпространств равна размерности их суммы, сложенной с размерностью пересечения.

Так, в четырехмерном пространстве два двумерных подпространства могут пересекаться по нулевому вектору, и тогда их сумма совпадает со всем пространством; в этом случае равенство (6) превращается в Они могут пересекаться по прямой (одномерному подпространству), и тогда их сумма трехмерна; это соответствует равенству Наконец, могут совпадать, тогда их пересечение и сумма тоже двумерны, и равенство (6) дает

Два трехмерных подпространства в либо пересекаются по плоскости (двумерному подпространству), и тогда либо совпадают: (Другие случаи здесь невозможны, Гак как сумма этих подпространств не более чем четырехмерна).

Если — двумерное, а — трехмерное подпространства в то либо они пересекаются по прямой: либо содержится

Определение 10. Если пространство является суммой своих подпространств пересечение которых состоит лишь из нулевого вектора, то говорят, что есть прямая сумма подпространств и пишут

Если то очевидно, что

Так, обычное трехмерное пространство будет, очевидно, прямой суммой любой (проходящей через начало координат) плоскости и любой не лежащей в этой плоскости (но проходящей через начало)

прямой I. Пространство распадается также и на сумму любых двух своих несовпадающих (проходящих через начало) плоскостей, но эта сумма не будет прямой.

Теорема 6. Если то каждый вектор из единственным способом представляется в виде и где

Доказательство. Каждый вектор из по определению суммы подпространств, представляется в виде и где Предположим, что какой-то вектор х из разложен в такую сумму двумя способами:

Тогда вектор принадлежит одновременно и т. е. он принадлежит , значит, равен нулю, откуда

Пусть — какое-то векторное пространство и Совокупность всевозможных линейных комбинаций этих векторов

является, очевидно, подпространством в Мы будем говорить, что это подпространство порождается векторами Его называют также линейной оболочкой векторов Нетрудно видеть, что линейная оболочка векторов совпадает с пересечением всех подпространств, содержйщих эти векторы.

1
Оглавление
email@scask.ru