§ 9. Пересечение и сумма лодпространств

Определение 8. Пусть в векторной пространстве имеются два подпространства Их пересечением называется множество всевозможных векторов из принадлежащих одновременно и

Легко видеть, что пересечение двух подпространств является подпространством (содержащимся и в

Определение 9. Если — подпространства линейного пространства то их суммой называется множество всех векторов вида и где и

Сумма двух подпространств является подпространством (возможно, совпадающим с Действительно, если то где и тогда где поэтому

Далее, если а то где , следовательно,

Подпространство (так же, как и ) содержится в ибо каждый элемент можно представить в виде суммы где

Теорема 5. Если подпространства векторного пространства и то

Доказательство. В подпространстве выберем какой-нибудь базис

Дополним множество (7) векторов, принадлежащих одновременно и до базиса

с одной стороны, и до базиса

— с другой (теорема 3). Покажем, что векторы

линейно независимы. Тогда, по теореме 2, они образуют базис в ибо если вектор то , где и значит, х линейно выражается через векторы (8), а у — через векторы (9). Но тогда вектор линейно выражается через векторы (10)

Допустим, что векторы (10) линейно зависимы:

Тогда вектор

равный — принадлежит одновременно и а значит, и их пересечению . Но в таком случае он должен линейно выражаться через зисные векторы (7) подпространства пусть

Отсюда, ввиду единственности разложения вектора а по базису пространства

а тогда из равенства (11) следует, что

и, ввиду линейной независимости векторов (9),

Таким образом, векторы (10) образуют базис пространства и значит, его размерность равна числу этих векторов:

Но Мы доказали, что сумма размерностей двух подпространств равна размерности их суммы, сложенной с размерностью пересечения.

Так, в четырехмерном пространстве два двумерных подпространства могут пересекаться по нулевому вектору, и тогда их сумма совпадает со всем пространством; в этом случае равенство (6) превращается в Они могут пересекаться по прямой (одномерному подпространству), и тогда их сумма трехмерна; это соответствует равенству Наконец, могут совпадать, тогда их пересечение и сумма тоже двумерны, и равенство (6) дает

Два трехмерных подпространства в либо пересекаются по плоскости (двумерному подпространству), и тогда либо совпадают: (Другие случаи здесь невозможны, Гак как сумма этих подпространств не более чем четырехмерна).

Если — двумерное, а — трехмерное подпространства в то либо они пересекаются по прямой: либо содержится

Определение 10. Если пространство является суммой своих подпространств пересечение которых состоит лишь из нулевого вектора, то говорят, что есть прямая сумма подпространств и пишут

Если то очевидно, что

Так, обычное трехмерное пространство будет, очевидно, прямой суммой любой (проходящей через начало координат) плоскости и любой не лежащей в этой плоскости (но проходящей через начало)

прямой I. Пространство распадается также и на сумму любых двух своих несовпадающих (проходящих через начало) плоскостей, но эта сумма не будет прямой.

Теорема 6. Если то каждый вектор из единственным способом представляется в виде и где

Доказательство. Каждый вектор из по определению суммы подпространств, представляется в виде и где Предположим, что какой-то вектор х из разложен в такую сумму двумя способами:

Тогда вектор принадлежит одновременно и т. е. он принадлежит , значит, равен нулю, откуда

Пусть — какое-то векторное пространство и Совокупность всевозможных линейных комбинаций этих векторов

является, очевидно, подпространством в Мы будем говорить, что это подпространство порождается векторами Его называют также линейной оболочкой векторов Нетрудно видеть, что линейная оболочка векторов совпадает с пересечением всех подпространств, содержйщих эти векторы.