§ 3. Закон инерции квадратичных форм

Приводя квадратичную форму к сумме квадратов разными способами, мы будем получать в формуле (2), вообще говоря, разные коэффициенты. Однако имеет место следующее важное обстоятельство:

Теорема" 2 (закон инерции квадратичных форм). Если квадратичная форма приводится к сумме квадратов в двух разных базисах, то число членов с положительными коэффициентами, так же как и число членов с отрицательными коэффициентами, в обоих случаях одно и то же.

Доказательство (от противного). Предположим, что в базисе квадратичная форма имеет вид

где — координаты вектора х в этом базисе; и пусть в другом базисе

где - координаты вектора х в новом базисе. Пусть, например, Рассмотрим в пространстве подпространство порожденное векторами и подпространство порожденное векторами

Так как сумма их размерностей, равная больше то их пересечение имеет ненулевую размерность (теорема 5 из § 9 главы II), т. е. существует вектор , принадлежащий Этот вектор можно представить как в виде

так и в виде

Для вектора х по формуле (3)

так как хотя бы одно из в то же время по формуле (4)

(последнее неравенство — нестрогое, потому что возможно, что ).

Мы, пришли к противоречию, откуда и следует, что Аналогично получаем и неравенство Следовательно, Так же доказывается, что

Легко видеть, что сумма равна рангу квадратичной формы Разность называется сигнатурой формы