§ 3. Закон инерции квадратичных форм
Приводя квадратичную форму
к сумме квадратов разными способами, мы будем получать в формуле (2), вообще говоря, разные коэффициенты. Однако имеет место следующее важное обстоятельство:
Теорема" 2 (закон инерции квадратичных форм). Если квадратичная форма приводится к сумме квадратов в двух разных базисах, то число членов с положительными коэффициентами, так же как и число членов с отрицательными коэффициентами, в обоих случаях одно и то же.
Доказательство (от противного). Предположим, что в базисе
квадратичная форма
имеет вид
где
— координаты вектора х в этом базисе; и пусть в другом базисе
где
- координаты вектора х в новом базисе. Пусть, например,
Рассмотрим в пространстве
подпространство
порожденное векторами
и подпространство
порожденное векторами
Так как сумма их размерностей, равная
больше
то их пересечение имеет ненулевую размерность (теорема 5 из § 9 главы II), т. е. существует вектор
, принадлежащий
Этот вектор можно представить как в виде
так и в виде
Для вектора х по формуле (3)
так как хотя бы одно из
в то же время по формуле (4)