§ 2. Действия над линейными операторами

А. Сложение линейных операторов.

Если — два линейных оператора в векторном пространстве то их суммой называется оператор определяемый равенством

для любого

Легко видеть, что сумма линейных операторов тоже будет линейным оператором. Если линейные операторы имеют (в некотором базисе) соответственно матрицы то матрицей оператора будет где Матрица С называется суммой матриц А и В. Таким образом, по определению,

(Разумеется, складывать можно лишь матрицу одного и того же порядка.)

Сложение линейных операторов (и сложение матриц) обладает, очевидно, следующими свойствами:

4. Если через обозначить оператор, определяемый тем, что для всех то будет линейным оператором и

Матрицу оператора обозначим через — А; тогда ясно, что если то

Б. Умножение линейного оператора на число.

Если линейный оператор в пространстве и то произведением на а называется оператор определяемый следующим образом:

для каждого вектора х из

Ясно, что — тоже линейный оператор и что его матрица получается из матрицы А оператора умножением каждого ее элемента на а:

Матрица называется произведением матрицы А на число а.

Для умножения лйнейного операторана число справедливы, очевидно, следующие тождества:

Аналогичные тождества справедливы и для умножения матрицы на число.

В. Умножение линейных операторов.

Произведением операторов называется оператор определяемый следующим образом:

для каждого вектора х из

Таким образом, перемножение операторов состоит в последовательном их применении одного за другим; при этом сначала производится преобразование а затем уже полученный вектор подвергается преобразованию

Так, если есть поворот плоскости против часовой стрелки на угол а — поворот (в том же направлении) на угол то будет поворотом на угол Если — симметрияплоскости относительно оси симметрия относительно то — тождественное преобразование, — симметрия относительно начала координат. Если — ортогональное проектирование обычного трехмерного пространства на плоскость или на прямую, то Если дифференцирование в пространстве многочленов, то оператор — это взятие второй производной.

Произведение линейных операторов тоже будет линейным оператором.

Действительно,

Найдем, как выражается матрица С линейного оператора через матрицы ли: нейных операторов и Имеем

значит, если то

где

Мы видим, что для того чтобы получить элемент матрицы С, стоящий в пересечении ее строки и столбца, надо каждый элемент строки матрицы А умножить на соответствующий элемент столбца матрицы В и все полученные произведения сложить. (Говорят и короче: элемент равен произведению строки матрицы А на столбец матрицы Матрица С называется произведением матриц А а В,

Пример.

Произведение тех же матриц в обратном порядке равно

Мы видим, что умножение матриц (вообще говоря) не коммутативно.

Рассмотрим свойства умножения линейных операто ров и умножения матриц.

1. Если линейные операторы, то

Действительно, для любого вектора имеем

и

таким образом, умножение линейных операторов следовательно, и матриц) ассоциативно.

Произведение линейных операторов, состоящее в последовательном их выполнении: сначала затем , наконец, обозначается обычно просто через — без скобок.

2. Для любого линейного оператора

Матрица Е тождественного оператора 8 (см. выше, стр. 97) называется единичной матрицей. Для любой Матрицы А (того же порядка, что и Е)

3. Умножение и сложение линейных операторов связаны дистрибутивными законами:

так как для любого вектора

и

Аналогичные тождества справедливы и для матриц. Вспомним теперь основные законы сложения и умножения чисел, сформулированные на стр. 55—56 (аксиомы поля). Для сложения и умножения матриц мы доказали справедливость всех этих законов, кроме пятого и восьмого. Пример на стр. 101 показывает, что умножение матриц, а значит, и умножение линейных операторов, вообще говоря, не коммутативно,

Что же касается существования линейного оператора, обратного к данному, то справедливо следующее предложение:

Для каждого невырожденного линейного оператора существует такой ратный к линейный оператор что

(и соответственно для каждой матрицы А, определитель которой отличен от нуля, существует такая обратная к А матрица что

Докажем это. Пусть — невырожденный линейный оператор, имеющий в некотором базисе ей матрицу А. Мы докажем сначала существование обратной к А матрицы, е. такой матрицы, что

тогда линейный оператор имеющий в том же базисе матрицу будет обратным к ведь последовательное применение операторов одного за другим будет линейным оператором с единичной матрицей, т. е. тождественным оператором.

Итак, пусть дана матрица определитель которой отличен от нуля. Рассмотрим матрицу, составленную из алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы А:

При транспонировании ее получается матрица называемая присоединенной к матрице А:

Перемножая данную матрицу А и матрицу получим

(теоремы 3 и 4 главы I). А следовательно, матрица

будет обратной к А.

Пример. Найти матрицу, обратную к

Решение. Определитель матрицы А равен 4. Алгебраические дополнения ее элементов: , значит,

Заметим, что если операторы и невырожденные, то таким же будет и их произведение (так как из равенства вытекает, что и, значит, причем

(а для матриц ), так как

Теорема 3. Определитель произведения двух матриц равен произведению определителей сомножителей: если то

Доказательство. Пусть

Тогда, как известно,

Определитель матрицы С равен

По свойству 4 определителей его можно представить в виде суммы

где индексы независимо друг от друга пробегают все значения (всего в этой сумме слагаемых). Однако можно считать, что в определителе, стоящем под знаком суммы, все индексы различны, так как те определители, у которых имеются одинаковые индексы равны нулю как определители с пропорциональными столбцами. Таким образом, в этой сумме остаются только я! слагаемых, отвечающих разным наборам Вынося теперь за знак определителя общий множитель элементов каждого столбца, получим

где суммирование ведется по всевозможным перестановкам чисел

В определителе, стоящем под знаком (последней) суммы, переставим столбцы так, чтобы вторые индексы их элементов расположились в порядке возрастания. Это можно сделать посредством нескольких транспозиций столбцов. Так как при переходе от одной перестановки к другой той же четности требуется четное число транспозиций, а при переходе к перестановке другой четности — нечетное число транспозиций (а перестановка — четная), то определитель в правой части последнего равенства равен Таким образом, получаем

Следствие. что вытекает из равенства