§ 11. Метод Гаусса

Формулы Крамера, представляющие большой теоретический интерес, серьезного практического значения, имеют, так как их применение приводит к слишком громоздким вычислениям. Практически для решения систем линейных уравнений чаще всего применяется метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных по следующей схеме. Для того чтобы решить систему уравнений

выписывают расширенную матрицу этой системы:

где чертой отделен столбец свободных членов; затем над строками матрицы В производят элементарные преобразования: разрешается изменять порядок строк (что соответствует изменению порядка уравнений), умножать строки на любые отличные от нуля числа (что отвечает умножению соответствующих уравнений на эти числа) и прибавлять к любой строке матрицы В любую другую ее строку, умноженную на любое число (что соответствует прибавлению к одному из уравнений системы другого уравнения, умноженного на это число). С помощью таких преобразований каждый раз получается расширенная матрица новой системы, равносильной исходной. При этом стараются привести матрицу В к возможно Фолее простому виду, из которого решение системы видно непосредственно.

Рассмотрим подробнее метод Гаусса на трех конкретных примерах.

Расширенная матрица этой системы имеет вид

Вычитая первую строку из второй и из третьей и утроенную первую из четвертой, получим матрицу

Эта матрица — расширенная матрица системы

которая получается из заданной системы (30), если первое уравнение вычесть из второго и третьего, а утроенное первое вычесть из четвертого. Поэтому система (31) является следствием системы (30) - каждое решение системы (30) будет удовлетворять и системе (31). Но и обратно, система (30) может быть получена из системы (31) посредством аналогичных преобразований: первое уравнение прибавляется ко второму и третьему, а утроенное первое — к четвертому. Поэтому система (30) будет, в свою очередь, следствием системы (31), и значит, обе системы равносильны — они имеют одни и те же решения.

Далее, прибавив утроенную третью строку ко второй и удвоенную третью к четвертой, получим

Вычитая вторую строку из четвертой и сокращая ее на — 14, будем иметь

Но это — расширенная матрица системы

равносильной заданной системе (30), и значит, решением системы (30) будет

В этом случае ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов и равен, очевидно, трем,

Выписав расширенную матрицу этой системы, после очевидных преобразований получим

откуда и значит,

Здесь ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов и равен, очевидно, двум.

Имеем, очевидно,

значит, система несовместна, так как равносильная ей система содержит уравнение

Здесь ранг матрицы коэффициентов равен, как легко видеть, двум, а ранг расширенной матрицы равен трем.

Пример. Методом Гаусса решить однородную систему уравнений

и найти ее фундаментальную систему решений.

Решение. Выпишем расширенную матрицу системы (при этом нулевой столбец можно, конечно, не писать). После понятных преобразований будем иметь

т. е. заданная сиетема равносильна следующей:

Здесь и три неизвестных можно выразить через остальные, например, так:

Фундаментальную систему можно получить, если свободным неизвестным придавать значения (тогда ) и значения (тогда ). Это дает фундаментальную систему решений:

Общее решение системы имеет вид

где — произвольные числа.