§ 4. Евклидово (точечно-векторное) пространство

Пусть — вещественное -мерное аффинное пространство и — соответствующее ему векторное пространство, в котором введена евклидова метрика (т. е. задано скалярное произведение, удовлетворяющее условиям 1—4 из § 1). В пространстве можно определить расстояние между любыми двумя его точками, М и полагая его равным модулю вектора а в случае вещественного пространства — и угол, считая его равным углу между векторами и

Пространство с введенной в нем таким образом метрикой называется просто евклидовым пространством (в отличие от введенного выше евклидова векторного пространства.

Таким образом, -мерное евклидово пространство может быть определено с помощью следующих пяти групп аксиом:

1. Аксиомы сложения векторов (1—4 на стр. 64),

II. Аксиомы умножения вектора на число на стр. 64).

III. Аксиома размерности: существуют линейно независимых векторов, но нет больше чем линейно Независимых векторов (ср. стр. 66).

IV. Аксиомы, связывающие векторы и точки (1—2 на стр. 83).

V. Аксиомы скалярного умножения (1—4 на стр. 144-145)

Можно показать, что все -мерные евклидовы пространства над одним и тем же полем тоже «устроены одинаково» (изоморфны и изометричны между собой). В частности, при это — обычная плоскость, при обычное трехмерное пространство.

Рис. 11.

Пусть в вещественном пространстве А заданы -мерная плоскость проходящая через начало координат:

(-мерное подпространство) и точка Тогда вектор можно представить в виде где и (рис. 11,а). Длина вектора

называется расстоянием точки X от подпространства

Пусть теперь в А заданы произвольная -мерная плоскость :

и точка Плоскость получается из соответствующего ей подпространства определяемого системой уравнений (5), параллельным переносом некоторый вектор При этом точка X получается переносом на тот же вектор из некоторой точки (и, значит, ; см.рис. 11,б). Расстояние точки X от ерной плоскости естественно считать равным расстоянию точки от подпространства (Можно показать, что расстояние точки х от -мерной плоскости — это наименьшее из расстояний точки х от всех точек плоскости -мерная плоскость и -мерная плоскость ортогональны, если ортогональны соответствующие им подпространства и . В этом случае каждый вектор где точки ортогонален каждому вектору где (рис. 12).

Рис. 12.

Пусть в вещественном пространстве А выбрана ортонормированная система координат. Рассмотрим линейное уравнение

коэффициенты левой части которого не равны нулю одновременно.

Это уравнение определяет некоторую -перплоскость (см. стр. 86), которая получается из подпространства

(гиперплоскости, проходящей через начало координат) переносом на некоторый вектор Координаты вектора удовлетворяют, как мы знаем, уравнению (6):

(см. стр. 79). Последнее равенство, положив можно переписать в виде

Вектор а ортогонален подпространству так как для каждого вектора скалярное произведение

Положим причем знак здесь выберем чтобы было неотрицательно. (Если , то знак может быть выбран произвольно.) Уравнение

называется нормальным уравнением гиперплоскости . Вектор является, очевидно, единичным вектором (т. е. вектором длины 1), коллинеарным а, и значит, ортогональным

Пусть теперь нам дана точка и надо найти расстояние тонки X от гиперплоскости .

Точка X получается сдвигом на вектор из некоторой точки Это значит, что (см. тот же рис. 11, б). Теперь нам остается найти расстояние от точки до подпространства Представим вектор о в виде где Тогда искомое расстояние будет равно длине вектора Но вектор как и вектор ортогональный коллинеарен , значит, найдется такое число X, что Так как вектор — единичный, то искомое расстояние, равное равно

Итак, мы имеем равенство

Умножим его скалярно на

Но так как (см. (8)). Следовательно, откуда — Наконец, скалярное произведение в координатах равно

и значит

Таким образом, для того чтобы найти расстояние от точки до гиперплоскости, надо подставить координаты этой точки в левую часть нормального уравнения гиперплоскости и взять полученную величину по модулю. (Вспомните формулу расстояния от точки до прямой на плоскости и точки до плоскости в пространстве!)

Гиперсферой в евклидовом пространстве называется совокупность всех точек, отстоящих на одно и то же расстояние и у с гиперсферы) от некоторой фиксированной точки . Уравнение гиперсферы радиуса с центром в точке в ортонормирований системе координат, как легко видеть, имеет вид

Следовательно, гиперсфера является частным случаем поверхности второго порядка (ср. главу VII). Гиперсфера касается гиперплоскости , если она имеет с этой гиперплоскостью единственную общую точку.

Задачи. (Задачи 1—7 относятся к четырехмерному пространству; система координат везде ортонормированная.)

1. Найдите расстояние точки от начала координат, от координатных осей, от координатных (двумерных) плоскостей а от координатных гиперплоскостей.

2. Найдите точки пересечения прямых

с гиперплоскостью

3. Найдите условия, при которых прямая

принадлежит гиперплоскости

4. Докажите, что гиперплоскость, касающаяся гиперсферы, ортогональна радиусу, проведенному в точку касания.

5. Напишите уравнение гиперсферы, имеющей центр в точке (5, —1, 4, 0) и касающейся гиперплоскости

6. Пересечение гиперсферы

и гиперплоскости

есть некоторая сфера трехмерного пространства. Найдите ее центр и радиус.

7. Напишите уравнение гиперплоскости, проходящей через двумерную плоскость

и

а) проходящую через точку

б} ортогональную гиперплоскости

Пусть в -мерном пространстве даны попарно ортогональных векторов одинаковой длины Тогда натянутым на них (n-мерным) кубом называется (Совокупность всевозможных векторов вида

где

-мерная грань куба — это множество таких его точек, для которых из коэффициентов а, принимают постоянные значения, равные 0 или 1.

8. Найдите число -мерных граней -мерного куба.

9. Найдите угол между диагональю -мерного куба (т. е. вектором и его ребром (заметьте, кстати, что этот угол не зависит от ).

10 Найдите угол между диагональю -мерного куба и его -мерной гранью.