§ 2. Подгруппа

Определение 2. Подгрупмой группы называется совокупность элементов группы сама являющаяся группой относительно заданной в операции.

Так, в аддитивной группе вещественных чисел содержится подгруппа целых чисел, а в ней при любом — подгруппа чисел, кратных . Сама группа вещественных чисел содержится в качестве подгруппы в группе комплексных чисел.

В мультипликативной группе отличных от нуля комплексных чисел содержится подгруппа вещественных чисел, а в ней — подгруппа рациональных чисел, подгруппа положительных вещественных чисел.

Много интересных подгрупп содержит мультипликативная группа невырожденных матриц порядка (полная линейная группа), например, с вещественными элементами. Отметим, в частности, подгруппу ортогональных матриц и подгруппу унимодулярных матриц (т. е. матриц с определителем, равным 1). Подгруппами полной линейной группы являются также группа матриц с определителем, равным ±1, группа матриц с положительным определителем, группа диагональных матриц, группа скалярных матриц, т. е. матриц вида где с — любое число, единичная матрица, группа треугольных матриц, т. е. матриц, у которых все элементы снизу (сверху) от главной диагонали равны нулю.

Для того чтобы убедиться в том, что подмножество группы является ее подгруппой, надо прежде всего проверить, что произведение (сумма) любых двух элементов из принадлежит и что если а то и Но этого и достаточно, так как ассоциативный

закон, справедливый во всей группе будет выполняться и для элементов из а элемент как произведение сумма тоже будет принадлежать

Пусть дана группа и . Рассмотрим всевозможные степени (положительные и отрицательные)

элемента а. Они образуют, очевидно, подгруппу — циклическую подгруппу, порожденную элементом а. При этом возможны два случая: либо все эти степени элемента а различны, либо среди них имеются одинаковые. Последнее наверняка будет, например, в любой конечной группе. Пусть, скажем, где , Тогда Обозначим через наименьшую положительную степень, такую что . Тогда, для того чтобы имело место равенство необходимо и достаточно, чтобы «делилось Действительно, если то . С другой стороны, если где то, так как и — наименьшая положительная степень, в которой то делится на . В этом случае элемент а называется элементом порядка. Если все степени элемента а различны, то он называется элементом бесконечного порядка. (Таким будет, например, любой отличный от аддитивной группы целых чисел.)

Для чтобы убедиться в том, что данное множество элементов конечной группы образует в ней подгруппу, достаточно проверить, что произведение (сумма) любых двух элементов множества принадлежит Действительно, в конечной группе каждый элемент а — конечного порядка, и если (откуда уже следует, что принадлежит множеству то и элемент является обратным к а.

Легко видеть, что пересечение двух подгрупп группы само является подгруппой в Каждая группа имеет подгруппу, состоящую из одной единицы (нуля), и каждая группа сама является своей подгруппой (эти подгруппы называются несобственными) Ясно,

что подгруппа коммутативной группы всегда будет коммутативной, в то время как подгруппа некоммутативной группы может быть и некоммутативной, и коммутативной; так; (некоммутативная) полная линейная группа содержит коммутативную подгруппу скалярных матриц.