§ 3. Ортогональное дополнение

Определение 4. Два подпространства евклидова пространства называются взаимно ортогональными, если каждый вектор из ортогонален каждому вектору из (мы будем писать в этом случае

Так, в обычном трехмерном пространстве проходящая через начало координат плоскость (понимаемая как множество принадлежащих векторов) и перпендикулярная к ней (и тоже проходящая через начало) прямая ортогональны (рис, 10, а. Наоборот, две

взаимно перпендикулярные в смысле элементарной геометрии плоскости не будут ортогональными подпространствами в смысле этого определения: ведь из того, что совсем не следует, что

Рис. 10.

Для того чтобы подпространства и были взаимно ортогональными, необходимо и достаточно, чтобы все базисные векторы одного были ортогональны всем базисным векторам другого. Необходимость следует из определения 4, для доказательства достаточности предположим, что — базис базис причем для всех тогда для каждого и каждого скалярное произведение

и значит, эти векторы ортогональны.

Покажем, что два взаимно ортогональных подпространства пересекаются только по нулевому вектору.

Действительно, пусть взаимно ортогональные подпространства Если вектор то но тогда , значит, .

Пусть — произвольное подпространство евклидова пространства Выберем в ортонормированный базис и дополним его до ортонормированного

базиса всего пространства. Векторы порождают подпространство очевидно, ортогональное

Покажем, что каждый вектор х из ортогональный принадлежит Действительно, если вектор

ортогонален то

и значит,

Определение 5. Подпространство образованное всевозможными векторами из ортогональными ко всем векторам из называется ортогональным дополнением это подпространство мы будем обозначать через

Легко видеть, что ортогональное дополнение подпространства -мерно и что ортогональное дополнение к совпадает с т. е. что

Подпространства и порождают все и пересекаются по нулевомувектору. Следовательно, евклидово пространство является прямой суммой любого своего подпространства и его ортогонального дополнения:

Поэтому каждый вектор х из однозначно представляется в виде суммы где (теорема 6 главы II). Вектор у можно назвать ортогональной проекцией вектора х на подпространство . В случае вещественного пространства можно определить и угол между вектором х и подпространством — его естественно считать равным углу между вектором х и проекцией у вектора х на а значит, косинус этого угла равен

Рассмотрим снова систему линейных однородных уравнений?

Этой системе можно дать следующую геометрическую интерпретацию. В евклидовом пространстве (в ортонормированном базисе) задано векторов Задача состоит в том, чтобы найти все векторы ортогональные каждому из векторов .

Пусть ранг матрицы равен Если вектор х ортогонален ко всем векторам то он ортогонален и к порождаемому ими -мерному подпространству Таким образом, векторы-решения х образуют ортогональное дополнение подпространства Размерность (т. е. максимальное число линейно независимых решений системы (4)) равна, как мы видели, . Каждая фундаментальная система решений уравнений (4) — это базис подпространства