§ 4. Размерность и базис

Определение 2. Векторы векторного пространства называются линейно зависимыми, если существуют такие числа не равные

одновременно нулю, что

Векторы, не являющиеся линейно зависимыми, называются линейно независимыми.

Если векторы линейно зависимы:

и, например, то

или

где Если имеет место равенство (1), то говорят, что вектор является линейной комбинацией векторов а также, что вектор линейно выражается через Таким образом, если векторы линейно зависимы, то по крайней мере один из них линейно выражается через остальные. Ясно, что верно и обратное, т. е. что если один из векторов линейно выражается через остальные, то все эти векторы в совокупности линейно зависимы.

Примеры. На плоскости можно найти сколько угодно пар линейно независимых векторов — линейно независимы любые два неколлинеарных, т. е. не параллельных одной прямой, вектора. Но любые три вектора плоскости линейно зависимы.

В обычном (трехмерном) пространстве любые три некомпланар (т. е. не параллельных одной плоскости) вектора с линейно независимы (так как если , например то и вектор с компланарен векторам

Однако любые четыре пространственных вектора будут линейно зависимыми. (Докажите это.)

Определение 3. Векторное пространство называется n-мерным, если в нем можно найти линейно независимых векторов, но больше чем линейно независимых векторов оно не содержит.

Размерность пространства — это максимальное число содержащихся в нем линейно независимых еекторов.

Так, размерность множества всех плоских векторов равна 2, размерность множества пространственных векторов равна 3; понятно, что размерность -мерного пространства, по определению, равна Размерность пространства условимся обозначать через

Пространство, имеющее конечную размерность, называется конечномерным. Пространство, в котором можно найти сколь угодно много линейно независимых векторов, называется бесконечномерным. Примером бесконечномерного пространства может служить множество Р всевозможных многочленов от или множество С всех функций от непрерывных на данном отрезке (или непрерывных на всей числовой прямой), и т. д.

Определение 4. Совокупность линейно независимых векторов n-мерного векторного пространства R называется его базисом.

Теорема 1. Каждый вектор х линейного n-мерного пространства можно представить, и притом единственным способом, в виде линейной комбинации векторов базиса.

Доказательство. Пусть — произвольный базис -мерного пространства и Так как каждые векторов (-мерного!) пространства линейно зависимы, то зависимы, в частности, и векторы т. е. существуют такие не равные одновременно нулю числа что

При этом ибо если то хоть одно из чисел Ли было бы отлично от нуля, и векторы были бы линейно зависимы. Следовательно,

Полагая будем иметь

Это предстаеление х через единственно, так как если и

и ввиду линейной независимости векторов

откуда

Числа называются координатами вектора х в базисе Таким образом, теорема 1 утверждает, что если задан базис -мерного векторного пространства то каждый вектор из имеет (единственным образом определенные) координаты в этом базисе. При этом ясно, что если координаты двух векторов х и у совпадают, то эти векторы одинаковы, так как тогда хпеп Поэтому задавать вектор можно, просто указывая его координаты При этом так и пишут: вектор

Пусть мы имеем два вектора, заданные своими координатами в некотором базисе. Тогда при сложении этих векторов их соответственные координаты складываются: если

то

При умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число: если

то

У нулевого вектора все координаты равны нулю, так как из равенства ввиду линейной независимости векторов вытекает, что оса Вектор, противоположный , равен очевидно, .

Теорема 2. Если — линейно независимые векторы пространства и каждый вектор линейно выражается через то эти векторы образуют базис

Доказательство. Векторы по условию, линейно независимы. Остается доказать, что в пространстве нет более чем линейно независимых векторов. Возьмем произвольные векторов из . По условию, каждый из них можно линейно выразить через

Рассмотрим матрицу

Так как число строк этой матрицы равно то ее ранг не больше чем и значит, среди ее столбцов имеется не более чем линейно независимых. Но так как то столбцов этой матрицы между собой линейнозависимы. А это значит, что линейно зависимы и векторы . Мы нашли, что пространство -мерно и — его базис.

Из теоремы 2 вытекает, что пространство упорядоченных строк из чисел -мерно. Действительно, строк линейно независимы, так как из равенства

вытекало бы, что . С другой стороны, каждая строка линейно ражается через

Строки образуют, следовательно, базис пространства

Пространство многочленов степени не выше имеет размерность . В самом деле, многочлены

между собой линейно независимы, и каждый многочлен от t степени не выше через них выражается очевидным образом.

Теорема 3. В конечномерном векторном пространстве каждое множество линейно независимых векторов можно включить в некоторый базис.

Доказательство. Пусть векторы пространства линейно независимы. Если каждый из остальных векторов из линейно выражается через то, по теореме 2, это уже базис. Если же найдется вектор линейно не выражающийся через то векторов линейно независимы. Действительно, если бы имело место равенство

то ввиду линейной независимости векторов и вектор линейно выражался бы через

Присоединим вектор Если все векторы пространства линейно выражаются через то это уже базис. Если же найдется вектор не выражающийся линейно через

Присоединим его к ним; новая система векторов будет линейно независимой, и т. д.

Этот-процесс не может продолжаться до бесконечности, так как пространство по условию, конечномерно, и, следовательно, в нем не может быть бесконечного множества линейно независимых векторов. Поэтому, в конце концов, мы получим такую линейно независимую систему векторов ей через которую уже будут линейно выражаться все остальные векторы из Ввиду теоремы 2 это и будет базис пространства содержащий заданные векторы