§ 8. Представления диэдральных групп

Диэдральная группа при четном имеет классов сопряженных элементов, а при нечетном число классов сопряженных элементов этой группы равно

Для четного имеем

(число слагаемых в правой части равно — и, значит, группа имеет 4 одномерных двумерных неприводимых представлений.

Для нечетного

(число слагаемых здесь равно — и группа имеет два одномерных и двумерных неприводимых представлений.

I. Рассмотрим сначала случай, когда четно. Элементы группы выше мы обозначали так:

Они следующим образом разбиваются на

классов сопряженных элементов:

Обратим внимание на то, что элементы сопряжены между собой.

Пусть Г — одномерное представление группы с характером Тогда

Но характер на сопряженных элементах принимает одинаковые значения; поэтому Так как а , то Если, далее, то Это дает 4 одномерны представления (совпадающих со своими характерами):

или короче,

Легко видеть, что эти представления неприводимы и попарно неизоморфны.

Для того чтобы найти двумерные представления группы заметим, что так как является группой

преобразований плоскости, то она сама и будет одним из своих представлений (основным). Выпишем соответствующие матрицы.

Если — поворот вокруг начала координат на угол — симметрия, скажем, относительно оси то

где

Другие представления этой группы можно получить, отнеся элементу поворот на угол , на угол — наконец, на угол Так мы получим представлений где

здесь (при получается выписанное выше представление

Характер представления

Кроме найденных представлений каких-либо новых представлений мы таким путем не получим, так как если элементу поставить в соответствие поворот на угол то это представление будет приводимым, ибо при таком преобразо

вании (центральная симметрия) все векторы пространства являются собственными. При поворотах же на углы получатся представления, изоморфные уже найденным представлениям .

Итак, мы нашли двумерных представлений группы Эти представления неприводимы, так как одномерных подпространств, инвариантных, например, относительно поворота на угол , где не существует. Ясно также, что найденные представления попарно не изоморфны (п. 3, стр. 355).

II. Пусть теперь нечетно. Элементы группы следующим образом разбиваются на классы сопряженных элементов:

Найдем сначала два одномерных представления. Если , то и так как элементы сопряжены между собой, то откуда Далее, если Так мы получаем два одномерных представления (совпадающие со своими характерами):

или, короче,

Двумерные представления этой группы находятся так же, как в случае четного (см. п. I), А именно, имеем

где

Характер представления

Все эти представления неприводимы и попарно не изоморфны.

Выпишем полностью таблицы характеров для групп При группа имеет 4 одномерных и одно двумерное представления.

Их характеры:

При группа имеет 4 одномерных и 2 двумерных представления с характерами:

Наконец, группа имеет два одномерных и два двумерных представления. Их характеры: