§ 10. Однородные системы

Однородные линейные уравнения — это уравнения, свободные члены которых равны нулю:

Система (22) однородных уравнений (или однородная система линейных уравнений) всегда совместна, так как имеет, например, нулевое решение:

(т. е. решение, в котором значения всех неизвестных равны нулю). Это следует также из теоремы 8, так как в этом случае, разумеется,

Важно выяснить, при каком условии однородная система (22) является неопределенной, а значит, — что бывает особенно важно — имеет и ненулевые решения. Ответ на этот вопрос дает следующая

Теорема 9. Для того чтобы система (22) имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг ее матрицы коэффициентов был меньше

Действительно, если то, как видно из доказательства теоремы 8, система (22) имеет единственное и, значит, только нулевое решение:

Если же система (22) является неопределенной (ведь несовместной она быть не может), и вначит, она имеет бесчисленное множество решений, в том числе и бесчисленное множество ненулевых решений.

Из доказанной теоремы непосредственно вытекает

Теорема 10. Для того чтобы однородная система линейных уравнений с неизвестными обладала ненулевыми решениями, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю.

Доказательство. Условие

здесь необходимо, так как если то система имеет единственное и, значит, только нулевое решение. Это условие также и достаточно, так как если то ранг матрицы коэффициентов системы и система имеет бесчисленное множество (ненулевых) решений.

Пусть

— какое-нибудь ненулевое решение однородной системы (22). Это решение можно рассматривать как строку состоящую из элементов.

Тогда строка

тоже, очевидно, будет решением системы (22). Далее, если

— какое-то другое решение системы (22), то при любых линейная комбинация

этих решений тоже будет решением системы, так как если

то и

Итак, любая линейная комбинация решений однородной системы (22) тоже будет ее решением. Интересно поэтому найти такие линейно независимые решения системы (22), через которые линейно выражались бы все остальные ее решения.

Линейно независимая система решений уравнений (22) называется фундаментальной,

если каждое решение системы (22) является линейной комбинацией решений

Теорема 11 (о существовании фундаментальных систем решений). Если ранг матрицы коэффициентов системы уравнений (22) меньше то эта система обладает фундаментальными системами решений.

Доказательство. Пусть ранг матрицы А коэффициентов системы (22) меньше и пусть, для определенности, минор порядка, стоящий в левом верхнем углу матрицы А, отличен от нуля:

Перенеся свободные неизвестные первых уравнений системы (22) в правые части, получим систему

Придавая свободным неизвестным значения

получим соответствующие значения первых неизвестных. Это дает нам строку — решение системы (22)

Аналогично, придавая свободным неизвестным значения

и вычисляя соответствующие значения неизвестных получим строку

и т. д. Так мы найдем всего решений системы (22):

Эти строк между собой линейно независимы, ибо ранг образованной ими матрицы

в точности равен (В этой матрице есть отличный от нуля минор порядка, например, содержащий последние столбцов.)

Покажем теперь, что решения действительно образуют фундаментальную систему. Для этого остается показать, что каждое решение системы (22) линейно выражается через Итак, пусть

- произвольное решение системы (22). Рассмотрим строку

Легко видет, что все элементы, состоящие на последних местах этой строки, равны нулю, т. е. что

Будучи линейной комбинацией решений, строка во сама будет решением системы (22). А так как значения всех свободных неизвестных в равны нулю, то из нородной в этом случае системы (23), определитель которой отличен от нуля, получаем, что и значения всех остальных неизвестных в должны быть равны нулю, т. е. что есть нулевая строка:

и

что и требовалось доказать.

Заметим, что для того чтобы получить фундаментальную систему решений, мы могли бы придавать свободным неизвестным и какие угодно другие значения, лишь бы соответствующий определитель порядка был отличен от нуля. Так можно найти сколько угодно фундаментальных систем решений, каждая из которых состоит из строк. Из результатов следующей главы будет видно, что любая фундаментальная система решений уравнений (22) состоит в точности из решений.

Таким образом, можно сказать, что общее решение системы (22) линейных однородных уравнений имеет вид

где ей какая-то (какая угодно!) фундаментальная система решений, а — произвольные числа.

Сделаем еще одно, важное для дальнейшего,

Замечание. Рассмотрим систему уравнений

и соответствующую ей систему однородных уравнений

Пусть - какое-то фиксированное решение системы (27) и — любое другое ее решение. Тогда разность

удет решением системы (28): если то

Далее, если - произвольное решение однородной системы (28), то строка будет удовлетворять системе (27); если то

Отсюда следует; что все решения системы (27) можно получить, прибавляя к одному какому-нибудь ее решению всевозможные решения однородной системы (28), Иными словами, общее решение системы (27) равно сумме общего решения однородной системы (28) и произвольного, но фиксированного решения системы (27): если — фундаментальная система решений однородной системы (28) и — произвольное фиксированное решение системы (27), то общее решение системы (27) имеет вид

где — произвольные числа.