§ 3. Самосопряженный оператор

Определение 3. Линейный оператор совпадающий со своим сопряженным, т. е. такой, что называется самосопряженным. В вещественном пространстве самосопряженный оператор называют также симметрическим, а в комплексном пространстве — эрмитовым.

Таким образом, если самосопряженныйоператор, то тождественно при всех х и у из

Свойства самосопряженных операторов.

1. Тождественный оператор является самосопряженным, так как

2 Сумма самосопряженных операторов является самосопряженным оператором, так как если и то

3. Для того чтобы произведение самосопряженных операторов было самосопряженным оператором, необходимо и достаточно, чтобы эти операторы были перестановочны между собой, т. е. чтобы иело место равенство Действительно, если и то что равно

в том и только в том случае, если операторы к перестановочны.

4. Оператор, обратный к невырожденному самосопряженному оператору, является самосопряженным, так как если то

5. Если — самосопряженный оператор, то для того, чтобы произведение было самосопряженным, необходимо и достаточно, чтобы число а было вещественным, так как в этом случае

Теорема 3. Если — самосопряженный оператор и — подпространство, инвариантное относительно то и инвариантно относительно

Доказательств. По теореме инвариантно относительно но следовательно, инвариантно относительно

Далее рассмотрим отдельно самосопряженные операторы в вещественном и в комплексном векторных пространствах.

А. Пространство вещественно.

Пусть самосопряженный (симметрический) оператор в вещественном векторном пространстве и — его матрица в ортонормированном базисе. Тогда матрицей оператора в том же базисе будет транспонированная к А матрица (см. § 2), и так как то при всех Обладающая этим свойством матрица А называется симметрической (она «симметрична относительно главной диагонали»); Пример симметрической матрицы: у

Обратно, линейный оператор, имеющий в ортонормированном базисе симметрическую матрицу, будет, очевидно, самосопряженным.

Теорема 4. Все.корни характеристического многочлена самосопряженного оператора вещественны.

Доказательство. Пусть - комплексный корень характеристического многочлена самосопряженного оператора А, Тогда, как видно из доказательства

теоремы 8 главы III, в пространстве имеется двумерное подпространство, порожденное векторами и и такими, что

где и векторы не равны нулю. (Если само пространство R двумерно и в нем нет собственных векторов, то это подпространство совпадает с R.) Умножая скалярно первое из равенств (1) на второе — на и, получим

и

Но так как то и либо либо что противоречит предположению.

Теорема 5. Матрица самосопряженного оператора в некотором ортонормированном базисе приводится к диагональному виду.

Доказательство. Пусть — один из корней характеристического многочлена самосопряженного оператора По теореме вещественно. Соответствующий собственный вектор обозначим через тогда Вектор можно считать единичный, так как в противном случае его можно было бы заменить вектором — единичным собственным вектором с тем же собственным значением

Обозначим через одномерное (инвариантное) подпространство, порожденное вектором Его ортогональное дополнение будет инвариантно относительно и в нем оператор остается, конечно, самосопряженным. Пусть (вещественное) собственное значение оператора в подпространстве соответствующий (единичный) собственный вектор обозначим через тогда

Обозначим через (инвариантное) подпространство, порожденное векторами ; тогда подпространство

тоже инвариантно относительно Продолжая это построение, мы найдем попарно ортогональных (и значит, линейно независимых) единичных собственных векторов оператора . В базисе, состоящем из этих векторов, матрица оператора приведется к диагональному виду

Геометрический смысл самосопряженного преобразования виден из последней теоремы: если

— произвольный вектор из то

Рис. 13.

Таким образом, при соответствующем преобразовании точек точка переходит в точку , значит, в базисе, состоящем из собственных векторов оператора оно сводится к растяжениям вдоль координатных осей с коэффициентами, соответственно равными (см. рис. 13, на котором изображено действие на фигуру К евклидовой

плоскости самосопряженного преобразования с собственными значениями ).

Б. Пространство — комплексное.

Пусть — самосопряженный (эрмитов) оператор в комплексном векторном пространстве и — его матрица в ортонормированном базисе. Тогда при всех Такая матрица называется эрмитовой. Таким образом, если А — эрмитова матрица, то ее элементы, симметричные относительно главной диагонали, являются комплексно-сопряженными В частности, элементы главной диагонали вещественны, так как при всех I. Пример эрмитовой матрицы:

Итак, матрица эрмитова оператора в любом ортонормированном базисе является эрмитовой. Очевидно, что и, обратно, линейный оператор, матрица которого в каком-то ортонормированном базисе является эрмитовой, — эрмитов.

Теорема 4. Собственные значения самосопряженного (эрмитова) оператора вещественны.

Доказательство этой теоремы для комплексного пространства совсем просто. В самом деле, пусть х — собственный вектор и X — соответствующее ему собственное значение эрмитова оператора тогда

или

откуда

и так как то т. е. X — вещественно.

Таким образом, спектр самосопряженного оператора (и в вещественном, и в комплексном пространствах) расположен на вещественной оси. Далее так же, как для вещественного пространства, в комплексном случае доказывается.

Теорема 5. Матрица самосопряженного (эрмитова) оператора в некотором ортонормированном базисе приводится к диагональному виду (где все диагональные элементы вещественны).