§ 14. Выпуклые множества в аффинном пространстве

Определение 14. Множество точек вещественного аффинного пространства называется выпуклым, если вместе с каждыми двумя своими точками А и В оно содержит и все точки отрезка

Легко видеть, что пересечение любого числа выпуклых множеств выпукло.

Определение 15. Множество точек аффинного пространства называется ограниченным, если координаты всех его точек в некоторой системе координат в совокупности ограничены (легко видеть, что тогда они будут ограничены и во всех системах координат).

Пусть в (вещественном) аффинном пространстве А задана гиперплоскость

Этой гиперплоскостью все точки из разбиваются на два полупространства А, — множество точек, для которых и -множество точек, для которых Полупространства пересекаются по самой гиперплоскости (19).

Теорема 7. Каждое полупространство аффинного пространства является выпуклым множеством.

Доказательство. Пусть точки из принадлежат, например, полупространству А, тогда

Если — произвольная точка отрезка то по формулам где Для этой точки X имеем

т. е. произвольная точка X отрезка принадлежит

Гиперплоскость (19), как пересечение выпуклых мнржеств является выпуклым множеством. Каждая -мерная плоскость в как пересечение нескольких гиперплоскостей, выпукла.

Пусть в А даны полупространств, определяемых неравенствам!}

(Все знаки неравенств здесь одного смысла — этого всегда можно достичь, умножая в случае необходимости обе части неравенства на —1.) Пересечение этих полупространств, называемое выпуклой многогранной областью, определяет множество решений системы линейных неравенств (20). Если это пересечение ограничено, оно называется (выпуклым) многогранником -мерного пространства