ГЛАВА XI. ГРУППЫ СИММЕТРИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР

В этой главе рассматриваются преобразования обычного трехмерного (евклидова) пространства (определение преобразованиям, в § 3 главы X).

§ 1. Группа движений вещественного евклидова пространства и ее подгруппы

Определение. Движением называется такое преобразование вещественного евклидова пространства при котором расстояния между точками не меняются: если точка Р переходит в а точка — в то расстояние равно

Такие преобразования образуют, очевидно, группу, называемую группой движений евклидова пространства, или евклидовой группой.

В группе движений пространства выделим множество тех движений, при которых некоторая фиксированная точка О (начало координат) остается неподвижней, т. е. переходит сама в себя. Такие движения тоже, очевидно, образуют группу—подгруппу группы движений, называемую центроевклидовоц, или полной ортогональной группой.

Каждому движению с неподвижной точкой О отвечает определенное преобразование соответствующего векторного пространства: если точка Р переходит в то вектор переходит в вектор При этом преобразовании длины векторов не меняются; легко видеть, что не меняются также и углы - между векторами, т. е. рассматриваемое преобразование сохраняет скалярное произведение векторов.

Покажем, что преобразование евклидова векторного пространства, сохраняющее скалярное произведение, т. е. такое, что при всех х,

является линейным (и следовательно, ортогональным) преобразованием, т. е. что при всех и произвольном а. Действительно, имеем

откуда (поскольку пространство — евклидово)

Далее имеем

и значит,

Таким образом, полная ортогональная группа — это группа всех (линейных) ортогональных преобразований векторного пространства.

Пусть теперь — трехмерное евклидово пространство. Напомним, что матрица ортогонального преобразования трехмерного пространства в некотором ортонормированном базисе приводится либо к виду

(и тогда преобразование представляет собой поворот вокруг некоторой оси — «новой» оси либо к виду

(в этом случае преобразование состоит из поворота вокруг новой оси х и симметрии относительно плоскости, - перпендикулярной к этой оси; ясно, что если кратно то «поворот» представляет собой тождественное преобразование).

Определитель преобразования (1) первого рода (поворота вокруг какой-то оси, проходящей через начало координат), равен а определитель преобразования (2) второго рода равен —3. Поэтому преобразования первого рода (вращения) образуют подгруппу полной ортогональной группы, называемую группой вращений (трехмерного) пространства.

На плоскости матрица ортогонального преобразования приводится либо к виду

В первом случае (преобразование первого рода) это — поворот вокруг начала координат на угол определитель его матрицы равен Во втором случае (преобразование втор ого рода) это — симметрия относительно некоторой прямой — «новой» оси определитель его матрицы равен — 1. Все повороты плоскости образуют подгруппу ортогональной группы — группу вращений плоскости. Ясно, что все рассматриваемые нами пока группы (евклидова, ортогональная, группа вращений) — бесконечны.

Дальше интересовать различные конечные подгруппы полной ортогональной группы и группы вращений, которые могут быть получены следующим образом. Возьмем какую-нибудь (в определенном смысле «симметричную») фигуру плоскости или пространства и рассмотрим всевозможные ортогональные преобразования (или всевозможные вращения), переводящие эту фигуру в себя. Все такие преобразования, очевидно, образуют группу. Мы будем называть ее группой симметрии (соответственно группой вращений) рассматриваемой фигуры (в случае пространства иногда говорят не «фигура», а «тело»).

Понятие группы симметрии фигуры является математическим эквивалентом общежитейского представления «симметричных» и «несимметричных» фигурах, которое

само по себе точного смысла не имеет (поэтому выше мы заключили слово «симметричное» в кавычки): «степень симметричности» фигуры определяется «богатством» ее группы симметрии. Так, например, ясно, что ромб «менее симметричен», чем квадрат, — и группа симметрии ромба содержит всего 4 элемента, тогда как группа симметрии квадрата — 8 элементов. (Найдите сами все элементы группы симметрии квадрата; полное описание этой группы, входящей в серию диэдральныхгрупп и обозначаемой через дается ниже, в § 4.)

Рис. 28.

Далее, можно сказать, что правильный шестиугольник «более симметричен», чем правильный треугольник. Ведь правильный шестиугольник переходит в себя при всех тех преобразованиях, при которых переходит в себя треугольник (рис. 28, а) — при поворотах (вокруг центра) на углы 120° и 240° и симметриях относительно прямых и но, кроме того, шестиугольник переходит в себя еще и при поворотах на углы 60°, 180° и 300°, а также при симметриях относительно прямых и Группа симметрии правильного треугольника содержит 6, а группа симметрии правильного шестиугольника элементов (см. ниже, § 4),

«Особенно симметричен» круг, он «гораздо более симметричен», чем любой (даже правильный) многоугольник. Действительно, круг переходит в себя при всех преобразованиях, при которых переходит в себя любой (вписанный в этот круг) правильный -угольник,

(рис. 28, б), поэтому группа симметрии круга бесконечна. Легко видеть, что группа вращений круга изоморфна группе комплексных чисел, по модулю равных 1. Действительно, круг переходит в себя при повороте (вокруг его центра) на любой угол а, где а достаточно брать в пределах от 0 до Повороту на угол а поставим в соответствие комплексное число (по модулю равное тогда повороту на угол будет соответствовать число а повороту на угол - число , равное, очевидно, произведению