§ 10. Классы сопряженных элементов прямого произведения групп
Теорема 10. Пусть группа 
равна прямому произведению 
своих подгрупп 
Тогда, если 
есть класс сопряженных элементов группы 
— класс сопряженных элементов группы 
то всевозможные произведения вида 
где 
образуют класс сопряженных элементов самой группы 
и обратно, каждый класс сопряженных элементов группы 
получается таким образом.
Доказательство. Нам надо показать, что если 
в группе 
то 
в группе 
и наоборот.
Пусть 
и 
(где, 
). Тогда так как элементы из подгрупп 
коммутируют между собой, имеем
и значит, 
в группе 
Обратно, предположим, что элементы 
прямого произведения 
сопряжены в 
т. е. что 
где 
, значит; 
Тогда
откуда, ввиду единственности разложения элементов прямого произведения на компоненты из разных сомножителей, получаем 
в группе 
группе 
Следствие. 
группа 
содержит 
классов, а группа 
классов сопряженных элементов, то число классов сопряженных элементов группы 
равно 
