§ 3. Дальнейшие свойства характеров

Пусть Г — линейное представление группы в пространстве с характером Разложим Г в прямую сумму неприводимых представлений — пусть

Характер (неприводимого) представления обозначим через Тогда характер представления Г

Среди представлений могут быть и изоморфные между собой, им отвечают равные характеры. Наоборот, характеры неизоморфных между собой неприводимых представлений не могут быть равными, так как если то а не 0, как должно быть по предыдущего параграфа. Объединяя слагаемые, отвечающие изоморфным представлениям, последнюю сумму можно переписать так:

где - «кратность» представления (здесь и представления попарно не изоморфны). Пусть теперь Г — произвольное неприводимое представление группы с характером Рассмотрим скалярное произведение

Но если не изоморфно если представления Г и изоморфны. Следовательно, скалярное произведение обязательно является целым числом, которое показывает, сколько раз неприводимое представление Г Содержится

Следствие 1. Представления и имеющие одинаковые характеры, изоморфны, так как каждое неприводимое представление Г и в содержится одинаковое число раз (см. конец § 4 гл. XII).

Следствие 2. Разложение представления Г в прямую сумму неприводимых представлений (с точностью до изоморфизма слагаемых) однозначно.

Вернемся к (вообще говоря, приводимому) представлению Г с характером Из равенства (1) вытекает, что скалярный квадрат характера равен

Следовательно, скалярный квадрат характера всегда является целым числом, которое в том и только в том случае равно 1, если представление Г неприводимо.

Можно сказать поэтому, что для того, чтобы представление было неприводимым, необходимо и достаточно, чтобы скалярный квадрат его характера был равен 1. (Значит, в частности, представления группы неприводимы.) Далее, для того чтобы два неприводимых представления группы были неизоморфны, необходимо и достаточно, чтобы скалярное произведение их характеров было равно нулю (необходимость этого была доказана выше, а достаточность вытекает из того, что если два неприводимых представления изоморфны, то их характеры равны: , значит, скалярное произведение

Пример. Для группы (см. стр. 354) имеем

и представление равно прямой сумме Далее,

и значит, - регулярное представление содержит по одному разу каждое из одномерных представлений и и два раза — двумерное представление