§ 2. Оператор, сопряженный данному

Лемма. Если в евклидовом пространстве для всех векторов х, то

Доказательство. Из равенства вытекает, что при всех Подставив получим Но так как пространство евклидово, то

Пусть — евклидово пространство и линейный оператор в нем. Покажем, что при фиксированном у скалярное произведение является линейным функционалом относительно Действительно,

и

Как показано в § 1, найдется такой вектор у из что приг всех Этот вектор у зависит только от у (не от и можно положить поэтому Вектор определяется вектором у, т. е. — оператор, переводящий вектор у в новый вектор у (который мы и обозначаем Покажем, что этот оператор — линейный. Действительно, при всех мы имеем

и

откуда , ввиду леммы,

Аналогично, если то для любых имеем

и

откуда, по той же лемме,

Определение 2. Линейный оператор такой, что при всех

называется сопряженным

Легко видеть, что оператор, сопряженный , - единственный, так как из равенства справедливого при всех вытекает (по той же лемме), что при всех у и, значит,

Пусть А — -матрица линейного оператора в ортонормированном базисе - матрица, транспонированная к — матрица, элементы которой комплексно-сопряжены элементам матрицы А. Обозначим через линейный оператор, имеющий в том же базисе матрицу А, и покажем, что е. что и есть оператор, сопряженный Мы имеем, очевидно,

и

т. e. при всех . А тогда, если

то

и

т. e. для всех и оператор является сопряженным

Таким образом, для каждого линейного оператора евклидовом пространстве существует и притом только один сопряженный ему линейный оператор матрица которого в любом ортонормированном базисе является транспонированной и комплексно-сопряженной матрице оператора

Покажем, что Действительно, имеем

при всех и значит, опять по той же лемме, при всех у, т. е.

Свойства оператора, сопряженного данному.

и, согласно лемме,

и, по лемме, .

по лемме,

4. Если существует, то так как из равенства и пп. 3 и 1 вытекает, что или , т. е. что

5. Если а — число, то так как

и, по лемме,

Теорема 1. Если подпространство инвариантно относительно линейного оператора то его ортогональное дополнение инвариантно относительно сопряженного оператора

Доказательство. Пусть х — произвольный вектор из — произвольный вектор из Тогда

так как , значит, Следовательно, вектор и инвариантно относительной.

Пусть -произвольный многочлен с комплексными, вообще говоря, коэффициентами. Обозначим через многочлен, все коэффициенты которого являются комплексно-сопряженными к соответствующим коэффициентам многочлена Так, если то если то

Теорема 2. Если -характеристический многочлен линейного оператора то характеристическим многочленом сопряженного оператора будет

Доказательство. Пусть

Тогда характеристический многочлен оператора равен

Следствие. Если собственное значение оператора кратности то собственное значение оператора той же кратности

Действительно, если

где , то

где тоже

В частности, в вещественном пространстве характеристический многочлен линейного оператора равен характеристическому многочлену оператора и все их собственные значения одинаковы (т. е. спектры их тождественны).