§ 6. Регулярное представление

Для каждой конечной группы можно построить так называемое регулярное представление, играющее важную роль в общей теории представлений групп.

Пусть — все элементы группы Рассмотрим -мерное векторное пространство элементы базиса которого поставим во взаимно однозначное соответствие элементам группы короче говоря, мы просто перенумеруем элементы базиса элементами группы

Далее, положим, по определению,

Мы получим -мерное представление группы так как

т. е. для всех базисных векторов — а значит, и для всех векторов х пространства имеем

следовательно,

Определенное таким образом представление группы и называется ее регулярным представлением. Рассмотрим несколько примеров.

1. Регулярное представление группы

Пусть — элементы группы, причем Пространство представления будет двумерным с элементами базиса По определению,

и соответствующее матрицы имеют вид

2. Регулярное представление группы Здесь элементы группы и базис пространства представления образуют четыре вектора

По определению,

соответствующие матрицы имеют вид

3. Регулярное представление группы V. Элементы группы причем базис пространства представления

По определению,

соответствующие матрицы имеют вид

4. Регулярное представление диэдральной группы Здесь элементы группы причем

Базис пространства представления

Проверьте сами, что соответствующие матрицы имеют вид

При регулярное представление приводимо, так как, например, одномерное подпространство, порожденное вектором инвариантно относительно группы при всех

Но — это те же элементы только, быть может, взятые в каком-то другом порядке. Следовательно,

Легко видегь, что в каждой строке и в каждом столбце матрицы регулярного представления один из элементов равен 1, а все остальные элементы равны 0 (докажите это сами).