§ 6. Системы n линейных уравнений с n неизвестными

Рассмотрим систему линейных уравнений с неизвестными:

Решением системы (13) называется любая совокупность значений неизвестных при подстановке которых все уравнения системы обращаются в. тождества. Предположим, что определитель, составленный из коэффициентов при неизвестных

системы (13), отличен от нуля:

Умножим первое уравнение системы на , второе — на последнее на и сложим их все. Мы получим уравнение

или

так как заключенные в скобки коэффициенты при цеиз: вестных в уравнении (14) по теореме 4 равны нулю, а коэффициент при ввиду теоремы 3, равен При этом правая часть

где — определитель, получающийся из при замене первого столбца столбцом свободных членов. (В правых частях равенств (14) и (15 стоит разложение определителя по первому столбцу.) Аналогично уравнению (15), получаем

где есть определитель, получающийся из заменой столбца столбцом свободных членов.

Система является следствием системы (13). Таким образом, мы доказали, что если система (13) имеет решение, то оно будет решением и системы и значит,

Формулы (16) называются формулами Крамера.

Непосредственной подстановкой этих значений неизвестных во все уравнения системы (13) можно убедиться, что они действительно образуют ее решение,

В самом деле, подставляя значения (16) в уравнение системы (13), будем иметь

Здесь скобки при всех кроме 6г, равны нулю по теореме 4, а сумма

равна по теореме 3.

Этим доказана следующая

Теорем случае, когда , система (13) имеет единственное решение, определяемое по формулам Крамера (16).