§ 7. Инвариантные подпространства

Пусть — подпространство векторного пространства действующий в линейный оператор. Образ вектора из вообще говоря, не обязан принадлежать Особый интерес представляют такие подпространства, векторы которых действием оператора не выводятся из этих подпространств.

Определение 3. Подпространство пространства называется инвариантным относительно линейного оператора если образ каждого вектора х из принадлежит (иными словами, если

Примеры. — поворот вокруг оси обычного трехмерного пространства. Инвариантными подпространствами будут, например, плоскость и ось

2. Если — ортогональное проектирование того же пространства на плоскость то инвариантными подпространствами будут: плоскость все плоскости, проходящие через ось сама ось и все прямые, содержащиеся в плоскости (и проходящие через начало координат).

3. В пространстве многочленов степени не выше подпространства при всех инвариантны относительно оператора дифференцирования.

4. В любом пространстве каждое подпространство инвариантно относительно тождественного и нулевого операторов.

5. В любом пространстве само пространство и его подпространство, состоящее из одного нулевого вектора, инвариантны относительно любого линейного оператора.

Покажем, что пересечение и сумма подпространств, инвариантных относительно линейного оператора инвариантны относительно

Действительно, если подпространства инвариантны относительно то а значит, . С другой стороны, если то где и не Но тогда

Теорема 5. Если — невырожденный линейный оператор и подпространство, инвариантное относительно то инвариантно и относительно

Доказательство. Пусть базис подпространства Тогда векторы тоже принадлежащие R (ввиду инвариантности линейно независимы (см. § 6), и значит, они тоже образуют базис т. е. произвольный вектор представляется в виде

Но тогда и

принадлежит

Сделаем еще одно, полезное для дальнейшего Замечание. Пусть — произвольный линейный оператор, действующий в -мерном пространстве предположим, что распадается в прямую сумму своих подпространств инвариантных относительно - базис — базис Ввиду инвариантности подпространств имеют место равенства

и

(так как

Тогда матрица оператора в базисе ей всего пространства имеет вид

Можно сказать, что матрица А «распадается на клетки»:

где — матрица оператора в подпространстве — матрица оператора в подпространстве R, а

прямоугольные матрицы в левом нижнем и правом верхнем углах матрицы А состоят из одних нулей.

Такимобразом, зная матрицы оператора в подпространствах мы можем составить из них матрицу оператора во всем пространстве

Верно и обратное утверждение: если матрица оператора в некотором базисе имеет «клеточный» вид (7), то пространство очевидным образом распадается в прямую сумму инвариантных относительно подпространств