ГЛАВА XIII. ТЕОРИЯ ХАРАКТЕРОВ

§ 1. Характер представления. Простейшие свойства характеров

Определение 1. Пусть Г — линейное представление группы в пространстве Для каждого положим Определенная таким образом на группе (комплексно-значная) функция называется характером представления Г.

Если Г — однерное представление группы то для каждого а имеем

Выпишем характеры всех определенных выше представлений группы Пусть — характеры одномерных представлений этой группы (см. стр. 328), — характер двумерного представления определенного на стр. 328, — характер трехмерного представления, указанного на стр. 329 (назовем его , наконец, — характер регулярного представления этой группы (стр. 340). Все эти характеры можно собрать в такую таблицу:

Характеры играют очень важную роль в теории представлений. Можно сказать, что характер представления определяет это представление, так как дальше будет показано, что представления с одинаковыми характерами изоморфны.

Рассмотрим простейшие свойства характеров.

1. Для любого представления где — единица группы степень представления. Действительно, есть единичная матрица порядка и значит,

2. Характер является центральной функцией на группе: Действительно,

(см. стр. 127).

3. Изоморфные представления имеют одинаковые характеры. В самом деле, если

то

и

4. Если представление Г является прямой суммой представлений то характер х представления Г равен сумме характеров представлений

По условию, где — пространства представлений Если базис выбрать так, чтобы первые — размерность векторов принадлежали подпространству а последние векторов (где — размерность — подпространству то матрица представления будет иметь вид

где — матрица представления в пространстве

а - матрица представления в пространстве Но в таком случае, очевидно, для каждого

т. е.

5. Для любого

Пусть — все собственные значения оператора причем каждое взято столько раз, какова его кратность. Так как оператор — унитарный, то и значит, собственные значения оператора совпадают с собственными значениями Но, ввиду следствия на стр. 168, собственными значениями оператора будут

(где также каждое собственное значение взято столько раз, какова его кратность). Следовательно,

6. Если — характер регулярного представления группы порядка то

Действительно, пусть — все элементы группы и базис пространства представления образован векторами Так. как единичный элемент, то

(п. 1). Если , то

так как из равенства вытекало бы, что

Следовательно, при базисный вектор оператором переводится снова в, базисный вектор однако — в вектор, отличный от него самого. Это значит, что для любого столбце матрицы единственный отличный от нуля элемент — это единица, стояща не на главной диагонали, а следовательно, все элементы главной диагонали такой матрицы равны нулю, и значит, след ее равен нулю.