§ 3. Свойства определителей

С увеличением порядка определителя число его членов очень быстро растет. Так, определитель четвертого порядка состоит из 24 членов, определитель пятого порядка — из 120, определитель шестого порядка — из 720 членов, и т. д. Поэтому вычислить определитель порядка выше трех, пользуясь только его определением,

практически невозможно. Для того чтобы вычислять такие определители, нам придется изучить их свойства.

Прежде всего мы докажем одно вспомогательное предложение.

Лемма (о знаке члена определителя). Произведение входит в определитель порядка со знаком, определяемым выражением

мы будем говорить в таком случае короче: входит со знаком

Доказательство. Заметим прежде всего, что если поменять местами два множителя произведения как в первых, так и во вторых его индексах произойдет по одной транспозиции, и значит, четность каждого из чисел

изменится, а четность их суммы останется прежней.

Пусть нам дано произведение а. С помощью нескольких транспозиций этих множителей расположим их так, чтобы вторые индексы шли в порядке возрастания. Для этого сначала сделаем транспозицию, при которой на первое место станет элемент из первого столбца, затем такую, чтобы на второе место попал элемент из второго столбца, и т. д. (Так, например, произведение последовательно преобразуется в затем и, наконец, в Если в конечном счете, когда вторые индексы расположатся по возрастанию, первые образуют перестановку то рассматриваемый член, по определению, входит в определитель со знаком Но так как четность суммы числа инверсий в первых и числа инверсий во вторых индексах транспозициях множителей не менялась, то четность той суммы в первоначальном расположении множителей совпадает с чегностью числа — вела инверсий в перестановке первых индексов

окончательного расположения: в нем вторые индексы образуют нуль инверсий. Следовательно,

что и доказывает наше утверждение.

Пример. Найти, с иаким знаком произведение входит в определитель пятого порядка:

Решение.

Рассматриваемое произведение входит в определитель со знаком минус.

Свойство 1 («равноправие» строк и столбцов определителя) При транспонировании, т. е. при замене каждой строки определителя столбцом с тем же номером, определитель не меняется.

Доказательство. Рассмотрим определитель

и транспонированный определитель

строками которого служат столбцы определителя Надо показать, что

Каждый член определителя является членом и определителя так как его множители и в определи» теле находятся в разных строках и разных столбцах; обратно, каждый член определителя будет членом

и определителя Таким образом, оба определителя представляют собой «алгебраическую сумму» (т. е. сумму, в которой некоторые слагаемые берутся со знаком минус) одних и тех же членов вида Различие заключается только в том, что в определителе первые индексы — это номера строк, а вторые — номера столбцов, а в определителе — наоборот. Но так как по лемме о знаке члена определителя знак такого произведения как в первом, так и во втором определителе будет одним и тем же:

то

Свойство 2. Если поменять местами две строки или два столбца определителя, то определитель изменит знак, а по абсолютной величине не изменится.

Докажем это утверждение, например, для столбцов. Поменяв в определителе

местами столбцы, мы получим определитель

Каждый член определителя будет членом и определителя так как его множители расположены и в в разных строках и разных столбцах, и обратно. Возьмем какой-нибудь член определителя

Так как его множители расположены в порядке следования столбцов в то он входит в определитель со знаком для того чтобы найти знак этого члена в определителе расположим его множители в порядке следования столбцов в

(элемент содержится в столбце определителя а элемент Первые индексы в определителе так же как и в определителе указывают номера строк; поэтому в определитель рассматриваемое произведение войдет со знаком

Но перестановка получается из перестановки посредством одной транспозиции, а значит, числа

разной четности. Таким образом, каждый член определителя в определитель входит с противоположным знаком, и значит,

Для того чтобы доказать соответствующее предложение для строк, перейдем к транспонированным определителям (полученному из определителя (полученному из Если определитель получается из перестановкой строк, то получается из перестановкой столбцов, и значит, Но по свойству поэтому

Следствие. Определитель с двумя одинаковыми строками или с двумя одинаковыми столбцами равен нулю.

Для доказательства поменяем местами одинаковые строки (или столбцы) определителя от этого он, конечно, не изменится. А так как, по свойству 2, он должен при этом изменить знак, то откуда

Свойство 3. Если все элементы строки или столбца определителя умножить на одно и то же число, то определитель умножится на то же число.

Доказательство проведем, например, для столбцов. Умножив все элементы столбца определителя

на с, мы получим определитель

равный

Соответствующее свойство для строк легко доказывается переходом к транспонированным определителям.

Таким образом, общий множитель всех элементов строки или столбца определителя можно выносить за знак определителя.

Следствие. Определитель с двумя пропорциональными строками или столбцами равен нулю.

В самом деле, вынося «множитель пропорциональности» строки (столбца) за знак определителя, придем к определителю с двумя одинаковыми строками (столбцами), который равен нулю ввиду следствия из свойства 2.

Свойство 4. Если каждый элемент столбца определителя представлен в виде суммы двух слагаемых: т. е. если

то можно следующим образом представить в виде суммы двух определителей:

Аналогичное утверждение справедливр и для строк. Доказательство вытекает из равенства

Замечание. Легко видеть, что справедливо и следующее, более общее утверждение: Если каждый элемент столбца определителя представлен в виде суммы слагаемых: то определитель можно представить в виде суммы определителей:

Следствие. Определитель не изменится, если ко всем элементам какой-либо его строки или какого-либо столбца прибавить соответствующие элементы параллельного ряда, умноженные на одно и то же число. Действительно, пусть дан определитель

Прибавив ко всем элементам его столбца соответствующие элементы столбца, умноженные на одно и то же число с, мы получим определитель

Ввиду свойства 4 определитель равен

т. е. равен (второе слагаемое равно нулю как определитель с двумя пропорциональными столбцами).