§ 8. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

В предыдущем параграфе мы познакомились с определением подпространства, инвариантного относительно данного линейного оператора. При этом особый интерес представляют одномерные инвариантные подпространства. Пусть — такое подпространство и тогда и значит, где — число. Если у — любой другой вектор из то и

Определение 4. Вектор называется собственным вектором линейного оператора если найдется такое число что это называется соотвествующим вектору х собственным значением, оператора (матрицы

Как мы только что видели, если — одномерное инвариантное относительно оператора подпространство то каждый ненулевой вектор из является собственным вектором оператора и притом с одним и тем же собственным значением. Обратно, если х — собственный вектор оператора то порожденное им одномерное подпространство (состоящее из всех векторов вида ) будет, очевидно, инвариантным относительно .

Как найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора? Предположим, что х — собственный вектор, а — соответствующее ему собственное значение линейного оператора Тогда

Выберем в пространстве какой-нибудь базис и пусть хпеп, а матрица оператора в этом базисе . Тогда (см. § 1)

откуда, ввиду единственности разложения вектора по базису

Для существования ненулевого решения этой (однородной) системы необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю:

(теорема 10 из главы I). Левая часть последнего равенства совпадает со значением при определителя матрицы который является многочленом относительно X степени Коэффициенты этого многочлена называемого характеристическим многочленом матрицы А, принадлежат, очевидно, основному полю Ниже (теорема 6) будет показано, что многочлен на самом деле не зависит от выбора базиса, и поэтому его можно назвать характеристическим многочленом оператор

Мы доказали, что каждое собственное значение линейного оператора является корнем его характеристического многочлена. Обратно, каждый корень характеристического многочлена оператора будет его собственным значением — соответствующие собственные

векторы находятся из системы уравнений (8), которая в этом случае обязательно имеет ненулевые решения, так как ее определитель равен нулю.

Теорема 6. Характеристический многочлен линейного оператора не зависит от выбора базиса.

Доказательство. Пусть — характеристический многочлен оператора в базисе Предположим, что новый базис получается из старого с помощью матрицы С. Тогда характеристический многочлен оператора в базисе

Пусть

— характеристический многочлен оператора Легко видеть, что равно сумме диагональных элементов матрицы А (эта сумма называется следом матрицы А и обозначается символом ). С другой стороны, есть определитель матрицы А; поэтому для того чтобы оператор был невырожденным, необходимо и достаточно, чтобы было отлично от нуля, хт. е. чтобы оператор не имел нулевых собственных значений (что, впрочем, ясно и непосредственно)

Для тождественного оператора все ненулевые векторы пространства являются, очевидно, собственными (с собственным значением, равным единице).

Для нулевого оператора все ненулевые векторы пространства являются собственными (с собственным значением, равным нулю).

Найден собственные значения и собственные векторы преобразования 1 из § 1.

Характеристический многочлен

Его корни комплексны. Значит, в вещественной плоскости, и если не кратно , это преобразование не имеет собственных значений.

Если преобразование является тождественным, и каждый вектор плоскости — собственный (причем ).

Если преобразование является центральной симметрией, и каждый вектор плоскости будет собственным с собственным значением, равным —1.

В комплексном случае система (8) приводится к уравнению для собственного значения и к уравнению — для корня Это дает два линейно независимых собственных вектора

Рассмотрим еще один пример.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного преобразования с матрицей

Решение. Характеристический многочлен преобразования

Его корни Собственные векторы находятся из двух систем уравнений:

каждая из которых, поскольку ее определитель равен нулю, сводится к одному уравнению.

При это — уравнение из которого находим: и в качестве собственного вектора, соответствующего можно взять (или любой вектор, кратный При имеем уравнение из которого и соответствующий собственный вектор ) (или любой вектор, кратный ему).

Особенно простой вид принимает матрица линейного оператора, имеющего линейно независимых собственных векторов. В самом деле, пусть линейный оператор имеет линейно независимых собственных векторов с собственными значениями, соответственно равными Векторы примем за базисные, тогда, ввиду равенств

матрица оператора будет иметь вид

(такая матрица называется диагональной). Верно и обратное: если матрица А оператора в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса являются собственными векторами оператора

Однако далеко не каждый линейный оператор в -мерном векторном пространстве имеет -линейно независимых собственных векторов. Один из случаев, когда можно утверждать, что базис из собственных векторов («собственный базис») существует, подсказывается следующей теоремой:

Теорема 7. Собственные векторы линейного оператора, отвечающие попарно различным собственным значениям, линейно независимы.

Доказательство проведем индукцией по числу рассматриваемых собственных векторов. Для одного вектора, это ясно, так как, по определению собственного вектора, он отличен от нуля (и значит, из равенства вытекает, что а

Пусть наше утверждение справедливо для векторов и предположим, что собственных векторов

отвечающих попарно различным собственным значениям линейно зависимы:

Применяя к обеим частям этого равенства оператор получим

или

С другой стороны, умножая равенство (9) на А, будем иметь

Вычитая равенство из равенства (10), получим

а так как, по условию, все различны и в силу предположения индукции векторы линейно независимы, то а тогда из равенства (9) имеем акхк Теорема доказана.

Таким образом, если линейный оператор имеет n попарно различных собственных значений, то отвечающие им собственные векторы линейно независимы, и матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид.

Поскольку многочлен с вещественными коэффициентами не обязательно имеет хотя бы один вещественный корень, то в вещественном пространстве не для всякого линейного оператора найдется хотя бы одно одномерное инвариантное подпространство. Однако имеет место следующая

Теорема 8. Для всякого линейного оператора, действующего в вещественном пространстве размерности существует одномерное или двумерное инвариантное подпространство.

Доказательство. Если характеристический многочлен оператора имеет хотя бы один вещественный корень, то этот оператор имеет собственный вектор, и значит, в существует одномерное инвариантное относительно подпространство.

Если характеристический многочлен не имеет вещественных корней, мы сошлемся на так называемую основную теорему алгебры комплексных чисел:

Каждый многочлен с комплексными (в частности, с вещественными) коэффициентами имеет хотя бы один (комплексный) корень.

В силу этой теоремы (которую мы здесь не доказываем) характеристический многочлен, не имеющий вещественного корня, будет иметь хотя бы один комплексный корень где .

Решая для этого Я систему уравнений (8), мы найдем соответствующие (комплексные) решения: и значит, будут справедливы равенства

Приравнивая действительные и мнимые части, получим две системы равенств:

и

Рассмотрим два (вещественных) вектора

и

Равенства (12) показывают, что а равенства , что Но тогда подпространство порожденное векторами инвариантно относительно так как если то и

принадлежит Это подпространство двумерно, так как если бы векторы и и и были линейно зависимыми:

то мы имели бы

и вектор был бы собственным вектором оператора с вещественным собственным значением